Парадоксальность биективных отображений

Парадокс: рассуждения абзаца (***) неверны, когда у множеств бесконечное число элементов. Скажем, пусть A = {1, 2, 3, ...} - множество натуральных чисел, B = {2, 4, 6...} - множество чётных чисел. Строим отображение f: A->B вот как: f(n) = 2n, то есть числу n из A ставим в соответствие число 2n из B (числу 1 из A соответствует 2 из B, числу 2 из A - 4 из B...). В A и B, очевидно, разное количество элементов, но биекция построена. Более того, построена биекция между множеством и его подмножеством.

Объяснение этому может быть следующее: бесконечность не является конкретным числом, это некое размытое понятие. Соответственно она и не обязана иметь те же свойства, что и обычные числа. Скажем, бесконечность, делённая на любое конечное число, отличное от нуля (а не только на единицу), даст снова бесконечность. Если же обычное число так делить, то оно даст само себя только при делении на единицу.

Шесть свойств отображений. Если f : X → Y и A1 ⊂ A2 ⊂ X, B1 ⊂ B2 ⊂ Y , то

1. f(A1) ⊂ f(A2),

2. f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2),

3. f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2),

4. (B1) ⊂ (B2),

5. (B1 ∪ B2) = (B1) ∪ (B2),

6. (B1 ∩ B2) = (B1) ∩ (B2)

Отображение f : X → Y называется сюръективным или отображением на множество Y ,если Imf = Y . Другими словами, f сюръективно, если каждый элемент y ∈ Y имеет хотя бы один прообраз, т.е. ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f(x).

Отображение f : X → Y называется инъективным, если из условия x1 =6 x2 следует, что f(x1) =6 f(x2), т.е. различные элементы множества X должны иметь различные образы.

Отображение называется биективным если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Пусть XY – произвольные множества, если каждому элементу x из множества X (x ∈ X) ставится в соответствие элемент y ∈ Y, то говорят, что на множестве X задано отображение со значениями во множестве Y.
Пусть: X→Y либо f(x) = y.
Множество X – называется областью определения.
Множество Y – область прибытия.
Областью значений отображения f: X→Y называется множество f(X), состоящее из y ∈ Y, такого что y= f(x) для x ∈ X
f(X)={y| y ∈ Y, y= f(x), для x ∈ X }
Область значения всегда является подмножеством Y, но не всегда совпадает с ним f(X)≤Y
Существуют следующие способы задания отображений:
1. аналитический, то есть когда отображение задается в виде формулы;
2. словесный – описанием с помощью слов;
3. табличный
x
y
4. графический (график , диаграмма)
Свойства:
1. Отображение f: X→Y называется сюръекцией, если область прибытия совпадает с областью значений, то есть f(X)=Y или если для любого y ∈ Y J x ∈ X, такой что f(x)=y
X Y

2. Отображенное f: X→Y называется инъекцией, если для любых
, таких что выполняется что значения соответствовать этим аргументам не будут совпадать
А если для

X Y X Y
не является инъекцией

Отображение f=X→Y называется биекцией, если оно является сюръекцией и инъекцией, или для любого элемента y ∈ Y существует и притом единственный x ∈ X, такой, что f(x)=y.
X Y

Биекция также называется взаимно-однозначным отображением.

a) Инъективным отображением множества X на множесто Y называется такое отображение, при котором двум различным элементам из множества X соответствуют различные элементы из множества Y. Другими словами инъективное отображение, если для любых выполнено .
примером инъективного отображения является отображение:
б) Сюръективное отображение(или сюръекция). Сюръекцией называется такое отображение, при котором каждому образу из множества Y, соответствует хотя бы один прообраз из множества X/
примером сюръекции является отображение: .
в) Биективное(взаимооднозначное) отображение (или биекция). Биекция является одновременно и инъекцией, и сюръекцией. Поясним это: Для любого образа y из множества Y существует единственный прообраз во множестве X.
примером биекции является отображение:

Композиция отображений и обратное отображение.

Пусть f: X→Y а g:Y→Z, тогда композицией (произведением) отображений f и g называется новое отображение обозначается
g f: X→Z, при этом выполняется (g f)(x)=g(f(x))
Свойства:
1. композиция отображений не коммутативно.
Пусть ,
2. - ассоциативность.
Отображение f: X→Y является биекцией тогда обратным отображением, когда такое что

Билет 5.