Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Смешанное произведение векторов



2015-12-07 329 Обсуждений (0)
Смешанное произведение векторов 0.00 из 5.00 0 оценок




Смешанным произведением трех векторов называется число, получаемое следующим образом: векторное произведение умножается скалярно на вектор Смешанное произведение векторов обозначается Таким образом, Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то

 

Объем параллелепипеда V, построенного на векторах можно вычислить по формуле Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы

Прямая на плоскости.

В декартовой прямоугольной системе координат Оxy прямая на плоскости может быть задана уравнениями:

– общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0; (4.3)

– уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0)перпендикулярно нормальному вектору :

A(x x0) + B(y y0) = 0;

– уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0)параллельно направляющему вектору (каноническое уравнение прямой):

– параметрические уравнения прямой

;

– уравнение прямой в отрезках

Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат Ox и Oy (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками);

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2):

 

– уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M0(x0, y0):

y – y0 = k(x – x0).

 

Расстояние от точки M0(x0, y0) до прямой l, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле

. (4.4)

Две прямые, заданные уравнениями A1x + B1y + C1 =

A2x + B2y + C2 = 0, параллельны, если , и перпендикулярны, если A1A2 + B1B2 = 0.

 

Плоскость.

Плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнениями:

Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости. (4.5)

Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член D, то плоскость проходит через начало координат; если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение;

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 –

уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) перпендикулярно нормальному вектору ; – уравнение плоскости в отрезках,

 

где а, b, c – величина отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях;

– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3):

(4.6)

Величина угла φмежду двумя плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z +D2 = 0 вычисляется по формуле

Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде

или

Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид

Расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости , заданной уравнением (4.5), вычисляется по формуле

 

Линии второго порядка

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x, y которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени

 

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. (4.7)

 

Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (А, В, С не равны нулю одновременно).

При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

(4.8)

(4.9)

, (4.10)

 

где a, b, p – положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точ-ку, прямую, пару прямых). При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.

Эллипс с каноническим уравнением , имеет форму, изображенную на рис. 4.4.

 

Рис. 4.4

 

Точки F2(–с, 0) и F1(с, 0), где называются фокусами эллипса.

Числа а и b называются полуосями эллипса.

Гипербола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.5.

 

 

Рис. 4.5

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А1(а,0), А2(–а, 0), называемых вершинами гиперболы. Числа a и b – полуоси гиперболы: а – действительная полуось, b – мнимая. Точки F2(–c, 0) и F1(c, 0), где , называются фокусами гиперболы.

Парабола с каноническим уравнением имеет форму, изображенную на рис. 4.6.

 

 

Рис. 4.6

 

Число p называется параметром параболы, точка О – ее вершиной, а ось Оx – осью параболы, вектор – фокальный радиус-вектор точки М. Прямая называется директрисой параболы.



2015-12-07 329 Обсуждений (0)
Смешанное произведение векторов 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Смешанное произведение векторов

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (329)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.009 сек.)