Бесконечно малые функции, их свойства
Функция называется бесконечно малой при , если её предел равен нулю, т. е. . Здесь предел , поэтому . С учётом определения предела функции можно дать следующее определение бесконечно малой функции: функция называется бесконечно малой при , если для любого найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство или символически Например, функция является бесконечно малой при . В самом деле, здесь неравенство запишется так: или , т. е. . Итак, для всех имеем для любого . Это означает, что есть бесконечно малая функция при , и в качестве числа , фигурирующего в определении, можно взять . При других способах изменения определение бесконечно малой функции будет аналогичным (с учётом определения предела). Например, функция является бесконечно малой при ( – конечное число), если Свойства бесконечно малой функции Теорема 4. Если – бесконечно малые функции при , то их сумма также является бесконечно малой функцией, при . Доказательство. Пусть – произвольное число, которое может быть задано сколь угодно малым. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . Для указанного числа возьмём число . Так как является бесконечно малой функцией, то для числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . (5) Так как – бесконечно малая функция при , то найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . (6) Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для имеют место оба неравенства (5), (6). Поэтому с учётом свойства абсолютной величины суммы имеем для всех Теорема доказана. Если – бесконечно малая функция, то -тоже является бесконечно малой функцией. Это ясно из определения, так как . Ясно также, что разность двух бесконечно малых функций есть снова бесконечно малая функция, т. к. разность можно записать в виде суммы . Доказанная теорема сразу распространяется на любое конечное число слагаемых бесконечно малых функций. Можно сказать, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций – бесконечно малая функция. Теорема 5.Если – бесконечно малая функция при , а – ограниченная функция на некотором бесконечном интервале , то произведение – бесконечно малая функция при . Доказательство. Пусть – произвольное число, которое может быть задано сколь угодно малым. Нужно доказать, что для этого числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство Это будет означать, что рассматриваемое произведение есть бесконечно малая функция при . Так как – ограниченная функция в интервале , то существует такое число , что для всех точек интервала , т. е. для всех , имеет место неравенство . (7) Так как является бесконечно малой функцией при , то для числа найдётся такое число , что для всех будет выполняться неравенство . (8) Пусть – наибольшее из чисел . Тогда для всех неравенства (7) и (8) выполняются одновременно, поэтому с учётом свойства абсолютной величины произведения для всех имеем Теорема доказана.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (658)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |