Формула Тейлора для функции нескольких переменных

ВАРИАНТ

Пусть функция f ( x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула

.

Доказательство. Положим

, .

Функция F(x) имеет производные до порядка n + 1 вместе с функцией f (x). Функция G(x) имеет производные всех порядков, причём её производные положительны при х > a. Легко проверить, что

,

и поэтому F ^(m)(а) = f ^(m)(а) – f ^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n. Так как G^(m)(а) = 0 при m = 0, 1, …, n, то выполнены все условия обобщённой формулы Коши. При этом очевидно, что

F ^{(n + 1)}(х) = f ^{(n + 1)}(х), G^{(n + 1)}(х) = (n + 1)!

Применение обобщённой формулы Коши к этим функциям приводит к соотношению

,

откуда и получается формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

.

Как видно, функция раскладывается на две части. Главная часть

называется многочленом Тейлора порядка n. Второе слагаемое

называется остаточным членом функции в форме Лагранжа.
Если в формуле Тейлора положить а = 0, то последняя обращается в формулу Маклорена

,

где с (0; х). Формула Тейлора позволяет функцию f (x), возможно, сложной природы, заменить приблизительно сравнительно простой функцией — многочленом.

ВАРИАНТ

Как известно, функцию F(t) при условии существования ее производных по порядок n+1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. формулы (21.7), (21.11) первой части курса). Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

(4.3)

где

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y), имеющую в окрестности точки (х₀ , у₀) непрерывные производные по (n + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам х и у некоторые приращения Δх и Δу и рассмотрим новую независимую переменную t:

(0 ≤ t ≤1). Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (х₀ , у₀) и (х₀ + Δх, у₀ + Δу). Тогда вместо приращения Δf (x₀ ,y₀) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F(t) = f (x₀ + t Δx, y₀ + tΔy) , (4.4)

равное ΔF (0) = F (1) – F (0). Но F (t) является функцией одной переменной t, следовательно, к ней применима формула (4.3). Получаем:

.

Отметим, что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в (4.3), получим формулу Тейлора для функции двух переменных:

, (4.5)

где 0<θ<1.

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:

1. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций:

- Возрастание и убывание функции. Достаточное условие возрастания.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной.