Приведение к каноническому виду кривых и поверхностей второго порядка
24. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве. Число называется собственным значением, а ненулевой вектор соответствующим собственным вектором линейного оператора , если они связаны между собой соотношением . Пусть матрица оператора в некотором базисе. Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , где единичная матрица, а нулевой элемент пространства . Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы , которое существует тогда и только тогда, когда . Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен характеристическим многочленом оператора. Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения: характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом n-й степени относительно ; линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более различных собственных значений; собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы; если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве , имеет различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве ; этот базис называют собственным базисом оператора; матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей . Это симметрическое преобразование можно записать в виде: y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a12x1 + a22x2 где у1 и у2 – координаты вектора в базисе . Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2. Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение . Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду. Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид: . . При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда Тогда . Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных. Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (641)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |