Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Их основные свойства
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b). Окружность задается следующим уравнением: Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности. Признак уравнения окружности 1. Отсутствует слагаемое с х,у 2. Равны Коэффициенты при х2 и у2
Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина). Каноническое уравнение эллипса: Х и у принадлежат эллипсу. а – большая полуось эллипса b – малая полуось эллипса У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса. Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β) Свойства эллипса: 1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром - начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось - малой осью. 2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника 3) Эксцентриситет эллипса e < 1. Действительно, 4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике) 5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса. Доказательство. Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так: Составим уравнения директрис: (D1), (D2). Тогда Отсюда ri / di = e, что и требовалось доказать.
Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная , отличная от ноля. Каноническое уравнение гиперболы Гипербола имеет 2 оси симметрии: а – действительная полуось симметрии b – мнимая полуось симметрии Свойства гиперболы: 1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах - ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. 2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями 3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением, (11.3`) для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот. 4) Эксцентриситет гиперболы e > 1. 5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы. Доказательство можно провести так же, как и для эллипса. Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы: У2=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы) Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)2=2р(х-α) Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х2=2qу Свойства параболы: 1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной - начало координат. 2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху. Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение: Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1570)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |