Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать частные решения уравнения (2) в виде , где - некоторое произвольное число. Подстановка решения в таком виде в уравнение (2) приводит к характеристическому уравнению, позволяющему найти число . (3) Поскольку уравнение (3) является квадратным уравнением, возможны различные частные случаи. Случай 1. Корни и уравнения (3) действительные и различные: . В этом случае частными решениями уравнения (2), образующими фундаментальную систему, будут функции и , а его общим решением будет функция . Случай 2. Корни и уравнения (3) действительные и равные: . В этом случае в качестве фундаментальных решений уравнения (2) следует взять функции и , общим же решением будет функция . Случай 3. Корни и уравнения (3) комплексные: . В этом случае частными решениями уравнения (2), образующими фундаментальную систему, будут функции комплексного переменного и , а его общим решением будет функция . Используя формулы Эйлера, можно перейти к фундаментальной системе функций действительного переменного . Тогда общее решение уравнения (2) запишется в виде .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (выбор частных решений для некоторых функций в правой части уравнений, метод вариации постоянных). I. Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение , (1) где - постоянные, - некоторая функция. II.Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно получить как сумму общего решения однородного уравнения и какого-либо решения неоднородного уравнения, т.е. , где - фундаментальная система решений однородного уравнения. В некоторых специальных случаях есть некоторые правила поиска частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Случай 1. , где - многочлен степени . А. Если не является корнем характеристического уравнения , (2) то частное решение следует искать в виде , где - многочлен n-ой степени с произвольными коэффициентами. Б. Если - корень уравнения (2) кратности , то частное решение ищут в виде . Случай 2. . А. Если числа не являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение следует искать в виде , где и - произвольные постоянные. Б. Если числа являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение ищут в виде . Замечание. В случаях или частное решение по-прежнему следует искать в указанном полном виде. Случай 3. , где и - многочлены степени m и n, соответственно. А. Если не являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение следует искать в виде , где и - многочлены с произвольными коэффициентами степени . Б. Если являются корнями характеристического уравнения (2), то частное решение ищут в виде . Для нахождения частного решения уравнения (1) в общем случае можно воспользоваться методом вариации постоянных (методом Лагранжа). Рассмотрим общее решение однородного уравнения . Частное решение неоднородного уравнения (1) ищется в виде , где и - дифференцируемые функции, которые находятся путем решения системы дифференциальных уравнений Замечание. Пусть мы имеем уравнение , где . Если функции и являются решениями соответственно уравнений и , то функция - решение уравнения .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (539)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |