Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем
Таким образом, правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
17.4 Теорема: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b]. Док-во: возьмем x1, x2 Î[a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1) применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2] по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми. Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b]. Док-во 1:подобно предыдущему. Док-во 2:g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0 => g(x) - возрастает => f(x) – убывает. Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b). f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)Ê0 (a,b). 18.4Достаточные условия существования экстремума. Если f’(x)>0 на интервале (x0-б,х0) и f’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0 – точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0 – точка минимума. Доказательство:
теорема: Второй достаточный признак максимума функции. Если f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х0, и: 1). f’(x0)=0 2). f’’(x0)<0 то х0 точка максимума (аналогично, если f’’(x0)<0, то х0 – точка минимума) Док-во: Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности.
Выпуклость графика функции. Опр. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале. Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз. Если функция f(x) дважды дефференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции y=f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b). Уравнение касательной: Возьмем X=x.Из первого вычтем второе Поэтому y>Y следовательно график функции расположен выше касательной Аналогично, если f’’(x)<0 на (a,b) то график функции y=f(x) - выпуклый вверх, на данном интервале. Производная ф-и задана и параметрически Пусть дана функция по определению производной имеем Производная параметрически заданной функции.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (329)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |