Вопрос 28. Простейшие свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

( f(x)dx)’=f(x)

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

d( f(x)dx)=f(x)dx

3.Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная. F’(x)dx=F(x) + C

4.Неопределенный интеграл от дифференцирования равен дифференцированной функции плюс произвольная постоянная. dFx=F(x)+C

5.Постоянный множитель К можно выносить за знак неопределенного интеграла.

kf(x)dx=k f(x)dx

6.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы 2-х функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, если каждый из них существует.

[f₁(x)+f₂(x)]dx= f₁(x)+ f₂(x)dx

Распространяется на любое число слагаемых.

Вопрос 29. Основные принципы интегрирования. Непосредственное интегрирование.

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов можно интегрировать некоторые элементарные функции. x⁵dx=x⁶/6 + C

Вопрос 30. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Во многих случаях введение новой переменной позволяет свести нахождение данного интеграла к табличному интегралу или каким либо известным приемам – метод подстановки.

x= (t), где (t) – непрерывная дифференцированная функция на некотором промежутке, если на соответствующем промежутке изменения х, функция f(x) непрерывна, то f(x)dx= f’( (t)) ’(t)dt*

называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Формально замена переменной выполняется так, как будто подынтегральное выражение f(x)dx есть произведение f(x) на дифференциал dx.

Вопрос 31. Интегрирование по частям.

Метод интегрирования по частям основан на формуле UdV=UV- VdU

Пример.

Найти sqr(x²+a)dx Положим sqr(x²+a) =u,

dx=dv, тогда xdx/sqr(x²+a)=du, x=v

sqr(x²+a) dx=x*sqr(x²+a)- x*x/ sqr(x²+a) dx=x* sqr(x²+a)- x²dx/ sqr(x²+a)

41 Вопрос Исчисление вероятностей