Неустановившегося течения жидкости
Таких уравнений два. Первое из них - уравнение неразрывности потока, выражающее закон сохранения массы транспортируемой жидкости (рис.12.5).
x
Рис. 12.5. К выводу уравнений неустановившегося течения жидкости
Рассмотрим два близко расположенные сечения и трубопровода. Тогда закон сохранения массы жидкости можно сформулировать следующим образом: изменение массы жидкости в области между рассматриваемыми сечениями за время равно разности масс жидкости - , втекающей через сечение , и , вытекающей через сечение . Таким образом, имеем уравнение:
, в котором нижний индекс показывает, в каком сечении берутся соответствующие параметры течения. Поскольку с точностью до малых высшего порядка имеет место равенство
,
получаем первое дифференциальное уравнение:
, (12.9)
где ; ; неизвестные функции и . Для установившегося течения частная производная по времени в уравнении (12.9) равна нулю, поэтому из него следует: , т.е. массовый расход жидкости постоянен по длине трубопровода. Уравнение (12.9) называется уравнением неразрывности. Второе уравнение, называемое уравнением движенияжидкости, выражает второй закон Ньютона. Для удобства его можно сформулировать так: изменение количества движения любого фиксированного элемента жидкости за время , равно суммарному импульсу всех внешних сил, действующих на этот элемент. В качестве элемента жидкости возьмем жидкость, заключенную в момент времени между сечениями и трубопровода. Учитывая, что этот элемент в момент времени займет новое положение, изменение его количества движения можно записать в следующем виде:
.
Первый член в правой части равенства дает изменение за время количества движения элемента, как если бы он был неподвижен, а два другие члена учитывают движения элемента в трубопроводе: добавляется количество движения частиц, ушедших из рассматриваемого элемента через сечение , и вычитается количество движения частиц, пришедших в рассматриваемый элемент через сечение . Таким образом, с точностью до малых высшего порядка малости можно написать:
.
Проекция суммарного импульса всех внешних сил, действующих на жидкость в рассматриваемом элементе, на ось трубопровода включает следующие слагаемые: · импульс сил давления на торцах элемента; · импульс сил реакции стенок трубопровода; · импульс сил трения жидкости о внутреннюю поверхность трубопровода; · импульс сил тяжести, где угол наклона оси трубопровода к горизонту: . Таким образом, второй закон Ньютона можно представить в следующем виде:
или
. (12.10)
Выполнив дифференцирование произведений в левой части уравнения (12.10), получим
В силу уравнения неразрывности (12.9) первое слагаемое в правой части уравнения равно 0, поэтому имеем:
или
(12.11)
Система уравнений (12.9-12.10) или (12.9-12.11) служит основой для описания неустановившихся течений жидкости в трубопроводе.
Упрощающие допущения
При рассмотрении нестационарных течений многих капельных жидкостей (например, нефтей, нефтепродуктов, воды и т.п.), обычно принимаются следующие допущения и делаются следующие упрощения. · нефть считается слабо сжимаемой жидкостью, т.е. в уравнении состояния считается, что , поэтому во всех коэффициентах плотность нефти заменяется ее невозмущенным значением; · считается, что площадь сечения стального нефтепровода изменяется под воздействием давления крайне незначительно, т.е. , поэтому во всех коэффициентах площадь сечения трубопровода заменяется ее невозмущенным значением; · изменениями величины скоростного напора пренебрегают по сравнению с изменениями пьезометрического напора: ; · принимается, что скорость течения жидкости в трубопроводе много меньше скорости распространения волн давления; · принимается так называемая гипотеза квазистационарности трения, согласно которой , представленное формулой , где коэффициент трения (или множитель Фанинга), выражается через коэффициент гидравлического сопротивления:
(т.е. ),
причем для коэффициента используются зависимости, справедливые для стационарного течения.
Основные уравнения
С учетом сделанных допущений уравнение (12.8) преобразуется к виду:
.
Учитывая формулы (12.2), (12.4), согласно которым
и ,
получаем уравнение
, где .
Можно показать, что из условия следует, что . Тогда уравнение неразрывности получает окончательную форму:
. (12.12)
Уравнение (12.11) также упрощается и принимает вид:
. (12.13)
Таким образом, мы приходим к основной системе двух дифференциальных уравнений (12.12) и (12.13) с частными производными, используемых для расчета двух неизвестных функций и .
(12.14)
где . Если учесть, что ; и , то систему уравнений, определяющих нестационарное течение нефти в трубопроводе, можно записать в терминах объемного расхода и напора :
(12.15)
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (886)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |