Мгновен-я V (.) движ. прям. и неравн. есть произ-я от пути по времени

Дl. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1.

S=S(t) S

M₀ M M_i

Пусть в некоторый момент времени t тело находится в точке М на расстоянии от M₀, а в t + ∆T на расстоянии M_i от M₀ ∆t. S(t + ∆t) – S(t) = ∆S

Рассмотрим 1) → равномерное движение

2) → средняя скорость не равномерное движение

∆t→0

Если существует - скорость движение в данный момент времени

Задача 2.

γ=γ(t) – количество вещества

t→γ(t)

t+∆t→γ(t+∆t)

∆t→γ(t→∆t)- γ(t)= ∆ γ

Д2.1. Понятие производной функции в точке.

- это предел и называется производной функции y=f(x) в точке х₀ и обозначается (или ).

Опр. Производной функции у=f(x) называется предел отношения функции к приращению аргумента при стремлении этого приращения к нулю.

(в предложении что это предел существует)

Если это предел существует, существует и производная в точке х₀, и функция называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Д2.2 Односторонние производные функции в точке.

Д3. Связь производной в точке с ее непрерывностью в этой точке.

Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Но из непрерывности функции в точке не следует дифференцируемость (существования производной) в точке. Поэтому при применении производной в конкретной задаче необходимо учитывать область определения как самой функции, так и ее производной.

Д4.1 Геометрический смысл производной

Из задачи о проведении касательной к графику функции =>, что угловой коэффициент касательной k=tgα=f’(x₀). Поэтому с геометрической точки зрения производная f’(x₀ есть tg угла наклона касательной проведенной к графику функции f(x) в (.) с абсциссой x₀.

T: y-y₀=f’(x₀)(x-x₀)–уравнение касательной

О1)Касательной к графику функции y=f(x) в точке M₀(x₀,y₀) называется предельное положение секущей М₀М при стремлении точки М по кривой к точке М₀

N:y-y₀=(1/f’(x₀))*(x-x₀)-норм-я

Прям-я(нормаль)

Значение производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции данной точке.

Дифференцируемость функции в точке с геометрической точки зрения означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную. Если функция не дифференцируема в точке, то это означает, что касательная к графику функции в точке проходит вертикально ( ), или в точке к графику функции можно провести больше, чем одну касательную (производная не существует).

Д4.2 Физический смысл производной

Значение производной функции в точке есть мгновенная скорость изменения функции в данной точке.

Физический смысл производной зависит от физического смысла рассматриваемой производной.

Положительное значение производной в точке означает, что скорость изменения функции в этой точке положительна и, следовательно, функция растет. Отрицательное же значение производной говорит о факте ее убывания.

1)S=S(t)-путь пройд-й за t при нерав-ом прям-ом движ.

∆S/∆t=Vcp на [t₀,t₀+∆t]; V(t₀)=lim(∆t->0)∆S/∆t=S’(t₀)

Мгновен-я V (.) движ. прям. и неравн. есть произ-я от пути по времени.

2)Q=Q(t) кол-во электр-а протек-го через поперечн. сеч-е пров-ка за время t.

∆Q/∆t=I сред-я на промеж-е [t₀,t₀+∆t]

Сила тока в момент времени t₀ есть произ-е от кол-ва эл-ва по времени

3)m=m(x) масса неоднор-й стержень в зав-ти от его длины; ∆m/∆x=ρср-сред-я плотность стержня на уч-ке[x₀,x₀+∆x]; ρ(x₀)=lim(∆x->0)∆m/∆x=m’(x₀) линейная плот-ть неод-го стержня в (.) x₀ есть произ-я от массы стержня по длине.

4)m=m(t)-кол-во вещ-ва, прореаг-го за t; ∆m/∆t=Vср-средняя скор реак-и на [t₀,t₀+∆t]; V(t₀)=lim(∆t->0)∆m/∆t=m’(t₀)- скор р-и в момент t есть произ-я массы по времени