Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость

Знакочередующиеся ряды.

+-(U₁ - U₂ + U₃ - U₄ +U₅ - …) Такой ряд, где U_i >0 - знакочередующийся. Рассмотрим знак +, это не нарушит общности. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Теорема Лейбница.

Если в знакочер ряде абс. величины членов убывают, т.е. в ряде (*) U₁ < .. <U_i и общий член стремится к 0, то ряд сх-ся. Причём его сумма по абс величине < его первого члена. А остаток ряда r_n по модулю <1го из отбрасываемых членов.

▲Пусть n-пробег посл-ть чётных чисел, т.е. n=2m. Тогда S_2m – частичная сумма = (U1 –U2) +(U3-U4)+..+(U2m-1 – U2m). Данная сумма должна быть положит. и возрастающей.

 

 

Абсолютная сходимость.

Теорема(достаточный признак сходимости).

Если ряд составленный из абс. величин членов данного ряда сх-ся, то сходится и данный ряд.

▲ S_n = U₁+..+U_n Обозначим, S_n⁺ - сумма всех положительных членов до U_n+1; S_n^- - сумма модулей отрицательных эл-ов до U_n+1

S_n = S_n⁺ - S_n^- σ_n = ‌‌‌‌‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌/U₁/ + .. + /U_n/ σ_{n =} S_n⁺ - S_n^- По усл. т-мы lim (n→∞) σ_n = σ_. S_n⁺ ≤ σ_n < σ

S_n^-≤ σ_n < σ. Отсюда следует, что S_n⁺ и S_n^- также имеют lim => предел имеет и величина S_n при n→∞▲

Замечание. Этот достаточный признак не явл. необходимым, т.е ряд Σ(n=1 ∞) U_n может

сходиться и тогда, когда расходится ряд Σ(n=1 ∞) /U_n/.

Ряд абсолютной величины, члены кот обр-ют сх. ряд наз-ся абсолютно сходящимся.

Если ряд сходится, а ряд образован из абс. величин его членов расх., то такой ряд наз-ся неабсолютно(условно) сходящимся.

Абс. сх-ся ряды как и обычные конечные суммыобладают переместительным свойством: при любой перемене мест членов абс сх-ся ряда он остаётся абс сх-ся и с той же суммой.

Это свойство отсутствует у неабсол сх-ся рядов. Переставляя члены такого ряда можно добиться, чтобы сумма ряда изменилась.

 

По усл. т-мы скобки полож. и сумма возрастает. S_2m = U1 – [(U2 – U3) + ..+(U2m-2 – U2m-1) + U2m] Сумма в [] полож-на и из послед. рав-ва получаем S_2m < U1 (для любого m). Т.е. S_2m – возраст. и огр-ая сверхупосл-ть и поэтому она имеет lim. Lim(m→∞) S_2m = S S<U1

Пусть n=2m +1. S2m+1 = S2m +U2m+1. Возьмём предел от правой и левой части при m→∞: Lim(m→∞) S_2m+1 = Lim(m→∞) S_2m = S. S_n имеет lim = S<U1. (при чёт и нечётн)

Рассмотрим остаток ряда r_n = +-(U_n+1 - U_n+2 - U_n+3 ..). Представл. собой ряд, кот удовл условиям теоремы Лейбница, поэтому его сумма /r_n / <U_n+1 ▲

Выводы: т-ма Лейбница когда она применима позволяет не только установить сходимость, но и установить погрешность допускаемую при отбрасывании энных членов ряда начиная с некоторого.

 

 

2) если бесконечный, то Σ(n=1 ∞) (F(n+1) – F(n)) расх-ся

С этим рядом сравним ряд Σ(n=1 ∞) U_n. По т-ме Лагранжа (ф-ла конечных приращений Лагранжа) общий член ряда (*)F(n+1) – F(n) представляется в виде F(n+1) – F(n) = f(n+Ө), где 0<Ө<1

так что вследствии монотонности ф-ии f(x) получаем U_n+1 = f(n+1) < F(n+1) – F(n) < f(n) =U_n В случае сх-ти ряда (*) по т-ме 1 сравнения сходится ряд Σ (n=1 ∞) U_n+1 => сх-ся и Σ (n=1 ∞) U_n

Пусть ряд (*) расх-ся, то расх-ся Σ (n=1 ∞) U_n+1 , т.к члены ряда (*) > членов ряда U_n+1 и ряд Σ (n=1 ∞) U_n расходится.

Перемножение абсолютно сходящихся рядов.

Абс сх-ся ряды можно перемножать. S’ = ‌U₁ + .. + U_n (1) S’’ = ‌V₁ + .. + V_n (2) Произведение будет представлять собой ряд, образованный из всевозможных пар произв-ия членов (1) и (2) ряда

(u₁v₁)+(u₁v₂+v₁u₂)+(u₁v₃+u₂v₂+u₃v₁)+…+(u₁v_n-1+u₂v_n-2+…+v₂u_n-2+v₁u_n-1)+… В любой группе членов сумма индексов постоянна.

Теорема.

Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся то их произведение есть также абсолютно сходящиеся ряд, сумма S которой равна произведению сумм рядов сомножителей.

 

Функциональные ряды.

Общ. опред. Перейдём к рассм-ю рядов, членами кот. явл-ся ф-ии незав. пер-ых х. Такие ряды наз-ся функцион-ми. U₁(х)+U₂(х)+..+U_n(х) (А). Ряд (А) для оних зн-ий х сх-ся, а для др-х – расх-ся. Зн-ие х=х₀ при кот. числ. ряд U₁(х₀)+U₂(х₀)+.. сх-ся наз-ся точкой точкой сх-ти. Совокупность любых точек сх-ти ряда наз-ся областью сходимости ряда(ряд сходится в этой области). Сумма ряда явл-ся некот. ф-ей от х опр-ой в обл-ти сх-ти, обозн. f(х)= U₁(х)+U₂(х)+..+U_n(х)+.. Говорят, что ряд сх-ся ф-ей f(x).

 

Равномерная сх-сть функц-ой посл-ти и рядов.

Пусть на мн-ве X задана посл-ть ф-ий f_n(x) (n=1,2,..) Посл-ть ф-ий наз-ся сходящейся на мн-ве ч, если при любом xcX посл-ть {f_n(x)} cх-ся (поточечная сх-сть)

Определение.Функц. посл-ть f_n(x) (n=1,2,..) наз-ся равномерно-сходящейся к ф-ии f на мн-ве X, если дл кажд.

ε>0 существует такой номер n₀, такой, что любой x из X и всех номеров n>n₀ выполняется неравенство |f_n(x)-f(x)|<ε₀. Очевидно, что если последовательность f_n(x) – равномерно сходящаяся на множестве X то она просто сходится, если сходящаяся равномерно, то записываем f_n(x)(двойные стрелки вправо,

 

 

Теорема(признак равномерной сходимости «Вейерштрасса»).

Если числовой ряд ∑(n=1, ∞)α_n, α_n≥0 – сходится и для всех x из X и любому n=1,2,… выполняется неравенство: |u_n(x)|≤α_n, то ряд ∑(n=1, ∞)u_n(x) сходится на множестве X абсолютно и равномерно. Док-во: Абсолютная сходимость ряда ∑(n=1, ∞)u_n(x) следует из 1) неравенства |u_n(x)|≤α_n 2) признака сравнения 3) из сходимости ряда ∑(n=1, ∞)α_n. Докажем равномерную сходимость ряда: для этого выпишем остатки: r_n(x) – остаток ряда ∑(n=1, ∞)u_n(x). Пусть ε_n остаток ряда ∑(n=1, ∞)α_n, тогда рассмотрим: |r_n(x)|=|∑(k=n+1, ∞)u_k|. Модуль суммы меньше суммы модулей |∑(k=n+1, ∞)u_k|≤∑(k=n+1, ∞)|u_k|≤∑(n=1, ∞)α_n=ε_n. Так как ряд ∑(n=1, ∞)α_n сходится, то его остаток при n→∞ стремится к 0, то есть ε_n→0 при n→∞. Это означает , что для любого ε>0 существует номер N, такой, что любому n>N сумма ∑(k=n+1, ∞)α_k<ε, отсюда, что при всех тех же условиях |r_n^(x)|<ε для любого x из X.

 

 

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется функция ряд вида a₀+a(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+… Члены которого это произведения постоянных a₀,a₁,…,a_n на степенные функции с целыми показательными степеней от разности x-x₀, a₀,a₁,…,a_n коэффициенты степенного ряда, при x₀=0 следует степенной ряд по степеням x.

а₀+а₁х²+а₂х²+…+а_nxⁿ+… всякий степен. ряд заменой х¹=х-х₀ может быть сведен к ст.ряду второго вида. а_nxⁿ-n-й член ряда. а₀-0-й член ряда. ст.ряды обладают некоторыми св-ми.

Теорема Абеля .

Интервал и радиус сходимости ст.ряда. Рассмотри ст.ряд а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nxⁿ+…(*) Если ст.ряд (*) сходится при х-х₀≠0, то он сходится и причем абсолютно, при любом х принад-ем (-(х₀),(х₀)), то есть удов. усл. (х)<(х₀) Док-во: (от 0 до ∞)∑ а_nх₀ⁿ →его общий член ряда а_nх₀ⁿ →0 при n →∞ (при чем ряд с полож.) Т.к. а_nх₀ⁿ →0 при n →∞ →все члены ряда ограничены, то есть Э постоянное положительное число М, что при любом n (а_nх₀ⁿ) < М перепишем ряд (*) следующим образом: а₀+а₁х₀ (х/х₀)+а₂х₀² (х/х₀)²+…+(а_nx₀ⁿ) (х/х₀)ⁿ +…

на члены данного ряда (а_nх₀ⁿ)<M, составим: (а₀)+(а₁х₀) (х/х₀)+(а₂х₀²) (х/х₀)²+…+(а_nx₀ⁿ) (х/х₀)ⁿ +… каждый член геометрического ряда > члена данного ряда М+М (х/х₀)+М (х/х₀)²+…+М (х/х₀)ⁿ +… если (х)<(х₀) То (х/х₀)<1 Геом.прогрессия сходится Значит сходится ряд а₀+а₁х+а₂х² +… Следствие: Если ст.ряд (*) расходится при х=х₀, то он расходится при любом х> х₀ (по абсолютной величине) Док-во: если бы он сходился при каком-то х, то он был бы абсолютно