Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. . Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , . Из Рис. 1 видно, что площадь криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: . Решая систему , получаем координаты точки В (точки пересечения кривой и прямой ) В . Тогда , . Окончательно . Отметим, что данная задача может быть решена другим способом. По определению определенного интеграла . Это равенство можно понимать так, что при построении интегральной суммы разбиению подвергается отрезок оси ординат. Соответственно точки - это ординаты, фиксированные на каждом из отрезков разбиения. Поэтому, если на , то интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми , , . Рис. 1 Возвращаясь к нашей задаче, можно посчитать площадь следующим образом: . Если функция не положительна и непрерывна на отрезке , то площадь над кривой на отличается знаком от определенного интеграла : .
Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , . Из Рис. 2 видно, что искомая площадь криволинейного треугольника ОАВ может рассматриваться как площадь над кривой ОАВ на отрезке . Однако указанная кривая (ломаная)не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения площади необходимо разбить треугольник ОАВ на две части . Координаты точек есть , и . , . Окончательно, . Билет 19. Вычисление объемов тел вращения 13.4.1. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела. 2, …, x = xi-1, x = xi, …, x = x n-1, x = xn = b на n слоёв (a = x0< x1 < < x2< …< xn-1 < xn = b), на каждом из отрезков [xi-1, xi] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = xi-1 и x = xi приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому . вращении эллипса вокруг оси Ox. Верхняя дуга эллипса получается при изменении t от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра t0 , равное , крайней правой точке соответствует значение tk = 0. Формула для кривой, заданной параметрически,примет вид , поэтому .
13.4.3. Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной осинаходится по формуле .
. Билет 20.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (681)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |