Предел последовательности

Математический анализ функции одной переменной.

Понятие функции.

Числовую величину х назовём переменной величиной, если она может принимать различные значения.

Х-множество всех значений х, XÎR.

Пусть существует множество YÎR. Если каждому х из Х по некоторому правилу сопоставлено единственное y из Y, то говорят, что на Х задана функция y=f(x) или

Функция определена, если заданы: множество Х(ОблОпредФункц), множество Y(МножЗначФункц), правило сопоставления элементов Y элементам Х.

Способы задания функций. Табличный, аналитический, графический, Описательный

Основные характеристики функций.

Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется чётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=f(x). Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется нечётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=-f(x).

Пусть функция y=f(x) определена на D и пусть D1cD(подмножество), тогда: 1)если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)<f(x2), то функция называется возрастающей на множестве D1. 2)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)£f(x2), то функция называется неубывающей на множестве D1. 3)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей на множестве D1. 4)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)³f(x2), то функция называется невозрастающей на множестве D1. для случаев 1,2,3,4 функцию называют монотонной, для 1,3-строго монотонной.

Классификация функций

Простейшими элементарными функциями называют: постоянные функции f(x)=c, c=const. степенные, показательные, логарифмические, все тригонометрические и им обратные, все функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий над простыми элементарными функциями, а так же суперпозиции этих функций – составляют класс элементарных функций.

Классификация: P(x)=a0+a1x+a2x²+…+amx^m, m³0 – целая рациональная функция, или алгебраическое множество степени m. , m³0,n³0 – дробно рациональная функция. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и их арифметических действий над степенными функциями как с целым, так и с дробным показателем и не являющихся рациональными называют иррациональными. Все функции, не являющиеся рациональными или иррациональными называют трансцендентными(логарифм, показательная).

Предел последовательности.

Число А называют пределом последовательности {x_n}, при n®¥, если , т.е. для любого положительного числа e существует такое натуральное число N=N(e), такое что при всех n>N выполняется неравенство |x_n-A|<e. n-член последовательности.

Для любого e>0, существует такой номер, что все n с бОльшими номерами попадают в e-окрестность числа А.