Геометрический смысл производной
и дифференциала функции
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задана кривая, являющаяся графиком функции и на ней точка Производная функции геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. (см. рис.12). Тогда уравнение касательной к кривой в точке имеет вид: Дифференциал функции f(x)в точке находится по формуле , т.е. равен произведению производной функции в заданной точке на дифференциал(приращение) независимой переменной. Геометрически дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке и при являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому справедливо приближенное равенство ~ dy, позволяющее приближенно заменять приращение функции дифференциалом. ПРИМЕР 26.Найти координаты точки пересечения с осью Оу касательной к кривой , где , проведенной к ней в точке РЕШЕНИЕ:Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид . Найдем сначала производную : Вычислим тогда уравнение касательной к заданной кривой в точке Мо(-1,4) запишется в виде: Теперь находим координаты точки пересечения полученной прямой с осью Оу. Для всех точек, лежащих на оси Оу, х = 0. Подставим в уравнение касательной х = 0, получим у = 8. Значит, касательная у= 4х + 8 пересекает ось Оу в точке(0,8). Применение правила Лопиталя к нахождению Предела функции
При отыскании предела подстановка предельного значения в ряде случаев приводит к неопределенным выражениям типа: . Тогда вычисление заданного предела называют раскрытием неопределенности соответствующего типа. Обычно при этом используют правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа и
Непосредственно применять правило Лопиталя можно только для раскрытия неопределенностей типа или . Согласно этому правилу, предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) существует и равен пределу отношения их производных: если выполнены условия: 1) функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = а и g'(х) ≠ 0 в этой окрестности (кроме, может быть самой точки а); 2) 3) существует (конечный или бесконечный), при этом а может быть как числом, так и одним из символов: ПРИМЕР 28.Найти РЕШЕНИЕ:Поскольку и то имеем неопределенность типа . Функции дифференцируемы на всей числовой оси. Найдем предел отношения их производных: Так как этот предел существует, то согласно правилу Лопиталя: Замечание. Если предел отношения производных вновь представляет собой неопределенность типа или , то правило Лопиталя применяется еще раз.
Раскрытие неопределенностей типа и
Неопределенность типа или следует вначале путем тождественных преобразований привести к неопределенностям типа или , для раскрытия которых можно непосредственно применить правило Лопиталя. ПРИМЕР 29.Найти РЕШЕНИЕ: При аргумент логарифмической функции Так как и , то возникает неопределенность типа . Обычно в таких случаях один из сомножителей записывают в знаменатель данного выражения: Получена неопределенность типа , к которой применимо правило Лопиталя: (поскольку ). Здесь имеет место неопределенность типа , для раскрытия которой снова применяем правило Лопиталя: ПРИМЕР 30. Найти РЕШЕНИЕ: Выражение в скобках, представляющее собой неопределенность типа , приводим к общему знаменателю: Полученную неопределенность типа раскроем по правилу Лопиталя (в ходе вычислений это правило применено дважды):
Раскрытие неопределенностей типа
При раскрытии указанных неопределенностей используются: а) основное логарифмическое тождество (в частности, ); б) непрерывность показательной функции, в силу чего: ПРИМЕР 31.Найти . РЕШЕНИЕ:Поскольку , имеем неопределенность типа . Найдем вначале предел логарифма заданной функции: . Здесь возникла неопределенность типа . Если учесть, что , то перейдем к неопределенности типа , которую можно раскрыть по правилу Лопиталя: Теперь используем основное логарифмическое тождество и свойство непрерывности показательной функции: Таким образом, для вычисления в случае неопределенностей , применяем правило: .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (442)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |