Однородные ДУ первого порядка
Определение 1.9. Функция называется однородной функцией -го порядка (измерения) относительно переменных и , если при любом справедливо тождество .
Например, функция - однородная функция первого порядка (измерения), так как . Функция - однородная функция второго порядка, так как . Функция - есть однородная функция нулевого порядка, так как .
Определение 1.10. ДУ первого порядка (1.3) называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого порядка относительно и .
Однородные ДУ преобразуются в ДУ с разделяющимися переменными путем подстановки и . Находим его общее решение (или общий интеграл). Затем следует заменить в нем на . Получаем общее решение (или общий интеграл) исходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: (1.4) где и - однородные функции одинакового порядка. Общее решение или общий интеграл ДУ (1.4) находится по той же схеме, как и для однородного ДУ (1.3).
Пример 1.6. Решить ДУ: . Решение. Данное уравнение является однородным, т.к. функции и - однородные функции второго порядка. Сделав подстановку и , получаем: . Последнее уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, получаем: . После интегрирования и преобразования имеем: . Заменяем на , получаем - общий интеграл исходного уравнения. , Замечание. Уравнение вида , где - числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные и , положив , , где и - числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.
Линейные уравнения
Определение 1.11. ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде , (1.5) где и -заданные функции, или в частном случае – постоянные.
Особенность ДУ (1.5): искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой. Для решения линейного ДУ первого порядка используют метод И.Бернулли.
Метод И.Бернулли
Решение уравнения (1.5) находится в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки , где и - неизвестные функции от . Тогда . Подставляя выражения и в уравнение (1.5), получаем или . (*)
Подбираем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решается ДУ . Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, т.е. . После интегрирования и преобразований получаем . Ввиду свободного выбора функции , можно принять . Подставляем найденную функцию в уравнение (*), получаем .
Получившееся уравнение является также ДУ с разделяющимися переменными. Решаем его и находим функцию : . Далее находим функцию по формуле или .
Пример 1.7. Решить задачу Коши: . Решение. 1) Применим подстановку и . Далее имеем . .
2) Полагаем . Откуда . Интегрируем последнее уравнение, получаем , .
3) Для определения имеем следующее уравнение . Откуда находим , Þ , Þ .
4) Умножая на , получаем общее решение данного уравнения . 5) Используя начальное условие , имеем Þ . Следовательно, частное решение исходного уравнения примет вид . , Замечание. Уравнение вида , где - заданные функции, можно свести к линейному, если считать функцией, а - аргументом, т.е. .Тогда, используя равенство , после преобразования, получаем - линейное относительно уравнение. Его решение находят в виде , где и - неизвестные функции от .
Пример 1.8. Найти общее решение ДУ: . Решение. Учитывая, что , от исходного уравнения переходим к линейному уравнению . Применим подстановку , тогда . Получаем или . Находим функцию : Þ . Находим функцию : Þ Þ . Значит, общее решение данного уравнения: или . ,
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1136)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |