Уравнение в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель.
Определение 1.12. Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида , (1.6) если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. .
В этом случае ДУ (1.6) можно записать в виде , тогда его общий интеграл будет . Сформулируем условие в виде теоремы (без доказательства), по которому можно судить о том, что уравнение (1.6) является ДУ в полных дифференциалах.
Теорема 1.2. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом, где функции и и их частные производные и непрерывны в некоторой области плоскости , необходимо и достаточно выполнение условия .
При решении ДУ вида (1.6) сначала проверяется выполнение условия . Далее функция может быть найдена из системы уравнений , . (1.7)
Интегрируя первое из равенств (1.7) при фиксированном и, учитывая, что произвольная постоянная может зависеть от , имеем . (1.8) Затем из равенства находим , потом . Подставляем в формулу (1.8), получаем общий интеграл уравнения . Уравнение в полных дифференциалах не имеет особых решений.
Пример 1.9. Найти общий интеграл уравнения . Решение. Здесь , , и . Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , т.е. , Проинтегрируем по : . Продифференцируем последнее выражение по : . Получаем уравнение Þ .
Откуда находим . Таким образом, . Окончательно имеем: -общий интеграл исходного уравнения. , Если уравнение (1.6) не является уравнением в полных дифференциалах , но существует функция , такая, что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение в полных дифференциалах, т.е. , то функция называется интегрирующим множителем. Если найден интегрирующий множитель , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на , и отысканию общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах. Если - непрерывно-дифференцируемая функция от и , то . Отсюда следует, что интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению с частными производными первого порядка: . Если интегрирующий множитель зависит только от , т.е. , то и в этом случае , где . Если интегрирующий множитель зависит только от , т.е. , то и в этом случае , где .
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Основные понятия ДУ высших порядков
Как уже отмечалось выше, ДУ -го порядка символически можно записать в виде . Если ДУ -го порядка можно разрешить относительно -й производной, то ДУ будет иметь вид . В частности, ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде , или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной, т.е. . Будем рассматривать только такие ДУ высших порядков, которые можно разрешить относительно высшей производной. Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении ДУ первого порядка. Теорему примем без доказательства.
Теорема 2.1.Если в уравнении функция и ее частная производные по аргументам непрерывны в некоторой области, содержащей значения , , , …, , то существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям , , …, , которые называются начальными условиями.
Определение 2.1. Общим решением ДУ -го порядка называется функция , зависящая от и произвольных постоянных . Функция вида , неявно определяющая общее решение, называется общим интегралом ДУ -го порядка.
Определение 2.2. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных , которые находятся из начальных условий, называется частным решением.
Решить (проинтегрировать) ДУ -го порядка – значит: 1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы); 2) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.
ДУ высших порядков,
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1166)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |