С постоянными коэффициентами
Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для ДУ с постоянными коэффициентами такой метод существует. Определение 2.5.ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами называется ДУ вида , (2.3) где и - постоянные действительные числа.
Для нахождения общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде , где - некоторое число (предложено Л.Эйлером). Тогда , .
Подставляем полученные выражения производных в уравнение (2.3), получаем: . Так как , то . Следовательно, если будет удовлетворять полученному приведенному квадратному уравнению, то будет решением уравнения (2.3).
Уравнение называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (2.3). Поскольку характеристическое уравнение является квадратным уравнением, то возможны следующие случаи по наличию корней: 1. и - два различных действительных корня; 2. и - два равных действительных корня; 3. и - два комплексных корня; Рассмотрим каждый случай отдельно.
I. Корни характеристического уравнения действительны и различны: .
В этом случае частными решениями будут функции и . Эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение имеет вид . (2.4)
II. Корни характеристического уравнения действительны и равны: .
В этом случае частными решениями будут функции и (можно убедиться, подставив функцию в исходное ДУ). Эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение имеет вид . (2.5)
III. Корни характеристического уравнения комплексные числа: и .
Общее решение имеет вид . (2.6)
Пример 2.3. Решить ЛОДУ второго порядка: . Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение: .
Находим корни характеристического уравнения: и . Общее решение примет вид . , Пример 2.4. Решить ЛОДУ второго порядка: . Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение: .
Находим корни характеристического уравнения: . Общее решение примет вид . , Пример 2.5. Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка: при начальных условиях Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение: .
Находим корни характеристического уравнения: и . Общее решение примет вид .
Найдем частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Определим соответствующие значения и . Сначала найдем : .
Далее получаем Þ . Таким образом, частное решение: . , Пример 2.6. Решить ЛОДУ второго порядка: . Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение: . Находим корни характеристического уравнения: и . Общее решение примет вид . ,
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (700)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |