II. Задание к контрольной работе по дискретной математике

I. Множества и операции над ними.

1) Для заданных множеств А, В и С найти:

B \ C, C \ B, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А Å B, А Å С, B Å C, A Å B Å C. Изобразить на плоскости Найти считая универсальным множеством множество ℝ – всех вещественных чисел (всю числовую ось).

2) Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера – Венна.

II. Отношения. Функции. Отношения эквивалентности и упорядоченности.

1) Даны множества и два бинарных отношения: и . Изобразите Р_1, Р₂ графически. Найдите Р₁^-1, Р₂^-1, Определите, является ли отношение Р₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

2) Даны отображения (числовые функции) ƒ, g: ℝ→ℝ. Найти композицию ƒ ◦ g, g ◦ ƒ, обратные отображения: ƒ^–1, g^-1, (ƒ ◦ g)^-1, (g ◦ ƒ)^-1. Для заданных множеств A, B Í ℝ найти f(A), g(A), ƒ ^–1(B), g^-1(B). Найти неподвижные точки отображений.

III. Функции и формулы алгебры логики. Эквивалентность формул.

1) Составьте полную и сокращенную таблицы истинности формул.

2) Проверьте двумя способами, будут ли эквивалентны следующие формулы: а) составлением таблиц истинности; б) с помощью эквивалентных преобразований.

III. Варианты контрольных работ

Вариант №1

I.1. А = [-3; 0] – отрезок числовой оси

В = (-1; 3] – полуинтервал на числовой оси

С = (-0.5; 4) – интервал на числовой оси

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 2); (а, 3); (а, 4); (b, 3); (с, 1); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 3); (2, 2); (3, 4); (1, 4); (2, 4); (4, 2)}

2. f(x) = –(x + 1)²; g(x) = –x –2; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]

 

III.1.

2. x → (y ↓ z) и (x → y ) ↓ (x → z)

 

Вариант №2

I.1. А = (0; 10] – полуинтервал на числовой оси

В = [–1; 5] – отрезок числовой оси

С = (–10; 2) – интервал на числовой оси

2. (А \ В) (В \ С) (В \ А) (С \ В) = А С

 

II.1. Р₁ = {(b, 2); (а, 3); (b, 1); (b, 4); (с, 1); (с, 2); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 4)}

2. f(x) = (x + 1)² – 1; g(x) = x + 1; А = [–1.5; 1]; В = [0; 1]

 

III.1.

2. x → (y ≡ z) и (x → y ) ≡ (x → z)

Вариант №3

 

I.1. А = {0, 1, 2, 3}– четырехэлементное множество

В = [–5; 3] – отрезок числовой оси

С = (0; 2) – интервал на числовой оси

2. (А \ В) (В \ С) (С \ А) = (В \ А) (С \ В) (А \ С)

 

II.1. Р₁ = {(а, 3); (а, 2); (а, 4); (b 1); (с, 2); (с, 4); (с, 3)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 1); (3, 3); (4, 4); (4, 3); (1, 4); (2, 4); (3, 2); (3, 4)}

2. f(x) = (x + 1)² + 1; g(x) = x + 3; А = [–1.5; 1]; В = [2; 3]

 

III.1.

2. x ≡ (y | z) и (x ≡ y) | (x ≡ z)

 

Вариант №4

 

I.1. А = (–1; +∞)– интервал на числовой оси

В = (–10; 10] – полуинтервал на числовой оси

С = [–5; +15] – отрезок числовой оси

2. (А В) (С D) = В С, если А В = D и C D = A

 

II.1. Р₁ = {(b, 1); (а, 3); (а, 4); (с, 2); (с, 4); (b, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 3); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (3, 4); (4, 2); (4, 4)}

2. f(x) = (x + 1)²; g(x) = x + 2; А = [–1.5; 1]; В = [1; 2]

 

III.1.

2. x ↓ (y | z) и (x ↓ y) | (x ↓ z)

Вариант №5

 

I.1. А = (–16; 8]– полуинтервал на числовой оси

В = [–9; 9] – отрезок числовой оси

С = (5; +∞) – интервал на числовой оси

2. (А \ (В \ С)) \ ((А \ В)\ С) = А С

 

II.1. Р₁ = {(а, 2); (а, 4); (b, 1); (b, 2); (b, 4); (с, 2); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (4, 4); (3, 2); (1, 3); (4, 1)}

2. f(x) = (x – 1)² – 1; g(x) = x – 1; А = [0.5; 3]; В = [0; 1]

 

III.1.

2. x → (y ↓ z) и (x → y) | (x → z)

 

Вариант №6

 

I.1. А = [–25; 1]– отрезок числовой оси

В = {–1; 0; 1} – трехэлементное множество

С = (0; +∞) – интервал на числовой оси

2. (А \ В) (В \ А) = А В

 

II.1. Р₁ = {(а, 2); (а, 4); (а, 3); (с, 1); (с, 2); (с, 3)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 4); (2, 3); (3, 3); (4, 1); (4, 3); (4, 4)}

2. f(x) = (x – 1)² + 1; g(x) = x + 1; А = [0.5; 3]; В = [2; 3]

 

III.1.

2. x ≡ (y z) и (x ≡ y) (x ≡ z)

Вариант №7

 

I.1. А = (–10; 5]– полуинтервал на числовой оси

В = [0; 10] – отрезок числовой оси

С = (4; +∞) – интервал на числовой оси

2. ((А В) \ С) = (А \(В С)) (В \(А С))

 

II.1. Р₁ = {(а, 1); (b, 2); (b, 3); (с, 1); (с, 3); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3); (3, 3); (3, 4); (4, 1); (4, 4)}

2. f(x) = (x – 1)²; g(x) = x; А = [0.5; 3]; В = [1; 2]

 

III.1.

2. x ↓(y z) и (x ↓y) (x ↓ z)

 

Вариант №8

 

I.1. А = (–∞; 2]– полуинтервал на числовой оси

В = [–3; 3] – отрезок числовой оси

С = (0; 4) – интервал на числовой оси

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 3); (b, 4); (b, 3); (с, 1); (с, 2); (с, 4)}

Р₂ = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (4, 3); (4, 2)}

2. f(x) = – (x + 1)² –1; g(x) = x–1; А = [–1.5; 1]; В = [–3; –2]

 

III.1.

2. x (y z) и (x y) (x z)

Вариант №9

 

I.1. А = (–2; 3) – интервал на числовой оси

В = [0; 4] – отрезок числовой оси

С = {2; 3} – двухэлементное множество

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 3); (b, 4); (b, 3); (b, 1); (b, 2); (c, 2)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 3); (4, 2)}

2. f(x) = 1– (x + 1)²; g(x) = x+1; А = [–1.5; 1]; В = [–1; 0]

 

III.1.

2. x → (y ≡ z) и (x →y) ≡ (x → z)

 

Вариант №10

 

I.1. А = [–7.5; 4.5]– отрезок числовой оси

В = (0; 5)– интервал на числовой оси

С = (–10; 0] – полуинтервал на числовой оси

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 2); (а, 3); (a, 4); (b, 1); (b, 2); (b, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3,3); (4,3); (4,4)}

2. f(x) = – (x – 1)² –1; g(x) = x–3; А = [0.5; 3]; В = [–3; –2]

 

III.1.

2. x → (y | z) и (x →y) | (x → z)

Вариант №11

 

I.1. А = (–5; 5]– полуинтервал на числовой оси

В = (0; +∞)– интервал на числовой оси

С = {–1; 0; 1} – трехэлементное множество

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 1); (а, 2); (b, 3); (b, 4); (c, 3); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 4); (3, 3)}

2. f(x) = 1– (x – 1)²; g(x)= x–1; А = [0.5; 3]; В = [–1; 0]

 

III.1.

2. x | (y z) и (x | y) (x | z)

 

Вариант №12

 

I.1. А = (–12; 12)– интервал на числовой оси

В = [10; 20] – отрезок числовой оси

С = (–∞; +15] - полуинтервал на числовой оси

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 2); (а, 3); (а, 4); (с, 3); (c, 1); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 4); (2, 3); (2, 1); (3, 4); (4, 2)}

2. f(x) = – (x – 1)²; g(x)= x; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]

 

III.1.

2.

Вариант №13

 

I.1. А = (5; 15] – полуинтервал на числовой оси

В = [5; 10] – отрезок числовой оси

С = {4; 5; 6} – трехэлементное множество

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 1); (а, 2); (а, 4); (b, 2); (b, 4); (c, 3)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (4, 4);(4,2)}

2. f(x) = – (x – 1)²; g(x)= x – 2; А = [0.5; 3]; В = [–2; –1]

 

III.1.

2.

 

Вариант №14

 

I.1. А = (0; + ∞) – интервал на числовой оси

В = [–3; 3] – отрезок числовой оси

С = (–10; 0] - полуинтервал на числовой оси

2.

II.1. Р₁ = {(b, 1); (b, 3); (c, 1); (c, 2); (c, 3); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (4, 2); (4, 3); (4, 4)}

2. f(x) = (x+ 1)²–1; g(x)= –x – 1; А = [–1.5; 1]; В = [0; 1]

 

III.1.

2.

Вариант №15

 

I.1. А = [–5; 25) – полуинтервал на числовой оси

В = [–25; 5] – отрезок числовой оси

С = (–10; 15) - интервал на числовой оси

2.

II.1. Р₁ = {(a, 2); (a, 4); (b, 3); (c, 1); (c, 2)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 4); (4, 3); (4, 2)}

2. f(x) = (x+ 1)² +1; g(x)= 1– x; А = [–1.5; 1]; В = [2; 3]

 

III.1.

2.

 

Вариант №16

 

I.1. А = (0; 25) – интервал на числовой оси

В = {0; 1; 2} – трехэлементное множество

С = [–1; 1] - отрезок числовой оси

2.

II.1. Р₁ = {(а, 3); (а, 2); (b, 2); (b, 3); (c, 1); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 3); (4, 1); (4, 4)}

2. f(x) = (x – 1)² –1; g(x)= 1 – x; А = [0.5; 3]; В = [0; 1]

 

III.1.

2.

Вариант №17

I.1. А = [–7; 7] – отрезок числовой оси

В = [0; +∞) – полуинтервал на числовой оси

С = (–∞; 5) - интервал на числовой оси

2.

 

II.1. Р₁ = {(а, 1); (а, 2); (а, 4); (b, 3); (c, 1); (c, 4)}

Р₂ = {(1, 3); (1, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 1)}

2. f(x) = (x – 1)² +1; g(x)= 3 – x; А = [0.5; 3]; В = [2; 3]

 

III.1.

2.

 

Вариант №18

I. 1. А=[– ; 3) – полуинтервал на числовой оси

В=[3; 10] – отрезок числовой оси

С=(3; + ) – интервал на числовой оси

2. (A (A \ B)) = Æ

 

II. 1. P₁={ (a, 1); (b, 3); (c; 1); (c, 4); (c, 3); (c, 2)}

P₂={(1, 1); (1, 2); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 3); (4, 4); (4, 1)}

2. f (x)=(x+1)²; g(x)= –x; A=[–1.5; 1]; B= [1; 2]

 

III. 1. (х y) (y ); (x ) (z | )

2. x (y z) и (x y) (x z)

Вариант №19

 

I. 1. А=[–11; 11] –отрезок числовой оси

В=[–12; 3) – полуинтервал на числовой оси

С=(0; 12) – интервал на числовой оси

2. ((A C) (B D))

 

II. 1. P₁={(a, 1); (b, 3); (b, 1); (b, 4); (c, 3); (c, 2)}

P₂={(1, 3); (1, 4); (2, 2); (3, 3); (4, 3); (4, 4);}

2. f (x)=(x – 1)²; g(x)=2– x; A=[0.5; 3]; B=[1; 2]

 

III. 1.

2.

 

Вариант №20

 

I. 1. А=(–10; 1) –интервал на числовой оси

В={–1; 0; 1} – трехэлементное множество

С=[0.5; 10] – отрезок числовой оси

2.

II. 1. P₁={(a, 1); (a, 2); (a; 4); (b, 1); (b, 4); (c, 3)}

P₂={(1, 1); (2, 4); (2, 1); (3, 3); (4, 2); (4, 1)}

2. f (x)= –x² – 1; g(x)= –x – 3; A=[–0.5; 2]; B=[–3; –1]

 

III. 1

2.

Вариант №21

 

I. 1. А=[10; 20] – отрезок числовой оси

В=(0; 15) – интервал на числовой оси

С={5; 10; 15} – трехэлементное множество

2.

II. 1. P₁={(a, 1); (a, 4); (b, 2); (b, 3); (c, 1); (c, 4)}

P₂={(1, 1); (1, 4); (2, 1); (3, 4); (4, 3); (4, 1)}

2. f (x)= 1–x²; g(x)= –x – 1; A=[–0.5; 2]; B=[–1; 0]

 

III. 1

2.

 

Вариант №22

 

I. 1. А= {–1; 0; 1} – трехэлементное множество

В=(–10; 0.5) – интервал на числовой оси

С=[0; 10] – отрезок числовой оси

2.

II. 1. P₁={(a, 1); (a, 2); (b, 2); (b, 4); (c, 3); (c, 2)}

P₂={(1, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 3); (4, 3); (4,4)}

2. f (x)= –x²; g(x)= –x – 2; A=[–0.5; 2]; B=[–2; –1]

 

III. 1.

2.

Вариант №23

 

I. 1. А= [–6; +6) - полуинтервал

В=[–10; 2] –отрезок

С=(2; 10­) – интервал

2.

II. 1. P₁={(a, 1); (a, 2); (a, 4); (c, 3); (c, 2); (c, 4)}

P₂={(2, 1); (3, 1); (3, 2); (4, 1); (4, 3)}

2. f(x)= x²; g(x)= 2–x; A=[–0.5; 2]; B=[1; 2]

 

III. 1.

2.

 

Вариант №24

 

I. 1. А= (–10; 4) – интервал на числовой оси

В=[0; 10] – отрезок числовой оси

С=(2; 7] – полуинтервал на числовой оси

2.

II. 1. P₁={(a, 1); (a, 2); (a, 3); (a, 4); (b, 3); (c, 2)}

P₂={(1, 1); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (3, 3); (3, 2); (4, 1); (4, 4)}

2. f(x)= x² +1; g(x)= –x; A=[–0.5; 2]; B=[2; 3]

 

III. 1.

2.

Вариант №25

 

I. 1. А= (2; 15] – полуинтервал на числовой оси

В=[–5; 5] – отрезок числовой оси

С=(–10; 3) – интервал на числовой оси

2.

II. 1. P₁={(a, 1); (a, 2); (b, 3); (c, 2); (c, 3); (c, 4)}

P₂={(1, 1); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 3); (4, 4)}

2. f (x)= x²–1; g(x)=1– x; A=[–0.5; 2]; B=[0; 1]

 

III. 1.

2.