IV. Пример решения контрольной работы
Задача I.1. Даны множества: А = {–1; 0; 1}, В = [–2; 0) – полуинтервал на числовой оси, С = [–0.5; 2] - отрезок на числовой оси. Найти:
Изобразить на плоскости: А ´ В, А ´ С, В ´ С. Найти , считая универсальным множеством множество всех вещественных чисел. Решение: = {[–2; 0]; 1} = {–1; [–0.5; 2]} = [–2; 2] = [–2; 2] = {–1} = {0; 1} = [–0.5; 0) = Æ – пустое множество А \ В = {0; 1} В \ А = {[–2; –1); (–1; 0)} А \ С = {–1} С \ А = {[–0.5; 0); (0; 1); (1; 2]} B \ C = [–2; –0.5) C \ B = [0; 2]
Задача I.2. Доказать тождество, используя диаграммы Эйлера-Венна.
Ввиду того, что заштрихованные области, полученные на последнем шаге для левой и правой части тождества, одинаковы, можно заключить, что исходное выражение верно.
Задача II. 1. Даны множества А={a,b,c} и B={1,2,3,4} и два бинарных отношения: P1={(a,1); (a,3); (b,2); (c,1); (c,4)} и P2={(1,1); (1,3); (2,2); (2,1); (2,4); (3,3); (4,1); (4,4)} Изобразить Р1, Р2 графически. Найти: Р1-1, Р2-1, . Определить, является ли отношение Р2 рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным. Решение: рассмотрим два способа графического представления бинарных отношений:
По определению обратное отношение . Таким образом, Р1-1={(1,a); (3,a); (2,b); (1,c); (4,c)} и P2-1={(1,1); (3,1); (2,2); (1,2); (4,2); (3,3); (4,4); (1,4)}. По определению композиции бинарных отношений Таким образом, ={(a,1); (a,3); (b,2); (b,1); (b,4); (c,1); (c,3); (c,4)}. Тогда -1={(1,a); (3,a); (2,b); (1,b); (4,b); (1,c); (3,c); (4,c)}. ={(1,a); (1,c); (3,a); (3,c); (2,b); (1,b); (4,b); (4,c)} Последние два множества совпадают, что и должно быть по свойствам композиции. Отношение Р2 рефлексивно, т. к. в соответствии с определением рефлексивности . a) Отношение Р2 не является транзитивным, поскольку по определению транзитивности требуется, чтобы для любых пар (x, y) и (y, z), таких что (x, y) следовало бы, чтобы пара . Однако это не так. Например, пары (2,1) и (1,3) Î Р2, но пара (2,3) Ï Р2. b) Отношение Р2 не является симметричным, т. к. по определению симметричности для любой пары (x, y) Î Р2 должно быть и (y, x) Î Р2 . Однако это не так. Например, пара (1,3)Î Р2 , но пара (3,1) Ï Р2. c) Отношение Р2 антисимметрично, поскольку для любой пары (x, y) Î Р2 такой, что (y, x) Î Р2 обязательно следует, что x=y.
Задача II. 2 Даны две функции и и два отрезка A = [0; 3] и B = [ ‑1; 0]. Найти :f∘g, g∘f, f ‑1, g ‑1, (f∘g) ‑1,(g∘f) ‑1 ,f(A), g(A), f ‑1(B), g‑1(B). Найти неподвижные точки f и g. Решение: по свойствам композиции находим (f∘g)(x) = f(g(x)) = (g(x)–2)2–1 = (1–x–2)2 –1 = (–x–1)2 – 1=(x+1)2–1; (g∘f)(x) = g(f(x)) =1– f(x) = 1 – (x–2)2 +1 = 2 – (x–2)2 ; Т.к. , где y³ –1. То из выражения найдем x. Тогда , где y³ –1 и f ‑1(у) – не является всюду определенным и однозначным соответствием. Заметим, что исходное отображение f обратимо справа, а именно: :f∘f ‑1 = f(f ‑1(y))= – тождественное отображение при y³ ‑1. Аналогично, , где y любое. И из следует: , при этом исходное отображение g обратимо как справа, так и слева, а именно: g∘g‑1 = g(g‑1(y)) = 1– (1– y)= y и g‑1∘g = – тождественные отображения. По свойствам композиции f(A) = { y = f(x), где xÎA }, поэтому f(A)=[–1; 3]. Аналогично, g(A) = { y = g(x), где xÎA } = [–2; 1]. Найдем неподвижные точки. По определению это такие х, что: f(x)=x и g(x)=x. Таким образом, x = (x–2)2–1. Отсюда x2–5x+3=0 и т. к. дискриминант D=25–12=13>0, то – две неподвижные точки f(x). Из g(x)=x следует, что x=1–x и – неподвижная точка g(x). Задача III. 1. Составить полную и сокращенную таблицы истинности для формул:
Решение: Значения формулы совпадают со значениями последнего столбца таблицы. Сокращенная таблица истинности строится непосредственно под формулой. Столбец результата выделяем. Стрелками показываем столбцы, участвующие в операции. Номером – столбец, полученный в результате операции.
Выделим подформулы второй заданной формулы: Построим полную таблицу истинности.
Сокращенная таблица истинности для 2-ой формулы:
Заметим, что для обеих формул результаты, полученные в полной и сокращенной таблице истинности, совпали. Это подтверждает правильность вычислений.
Задача III. 2. Проверить двумя способами, будут ли эквивалентны следующие формулы: . а) составлением таблиц истинности; б) эквивалентными преобразованиями. Решение: а) составим сокращенные таблицы истинности обеих формул:
Поскольку полученные столбцы не совпадают, формулы не эквивалентны. б) Выполним преобразования формул, перейдя к системе связок {Ø, &, Ú}. Для этого воспользуемся тождествами: и , где a и b – произвольные формулы. Тогда (по закону де Моргана) (по закону дистрибутивности)=
Формулы (*) и (**) не эквивалентны. V. Список литературы 1. В.Н. Нефедов, В.А. Осипова «Курс дискретной математики». М., МАИ, 1992. 2. О.Е. Акимов «Дискретная математика: логика, группы, графы». М., Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 3. Я.М. Ерусалимский «Дискретная математика». М., Вузовская книга, 2001. 4. С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова «Элементы дискретной математики». Москва, ИНФРА-М, 2002. 5. О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский «Дискретная математика для инженера». М., «Энергия», 1980. 6. Ф.А. Новиков «Дискретная математика для программистов». СПб: Питер, 2001. 7. С.В. Яблонский «Введение в дискретную математику». М., Высшая школа, 2001. 8. И.А. Лавров, Л.Л. Максимова «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов». М., Физматлит, 2002. 9. Е.С. Ляпин, А.Я. Айзенштат, М.М. Лесохин «Упражнения по теории групп». М., Наука, 1967. 10. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев «Алгебра и теория чисел». М., «Просвещение», 1974. 11. Дж.Л. Келли «Общая топология». М., «Наука», 1968. 12. Н. Бурбаки «Теория множеств». М., «Мир», 1965. 13. П.С. Александров «Введение в общую теорию множеств и функций». М., ОГИЗ Гостехиздат, 1948.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (416)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |