Доказательство свойства 1
ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Линейная алгебра» для направления 080100 «Экономика»
Рязань 2012 Тема 2. Элементы матричной алгебры (20 часов, 10 лекций) Лекция 1 Матрицы, виды матриц. Операции над матрицами, их свойства.
Матрицы, виды матриц Понятие матрицы появилось в связи с изучением СЛАУ впервые в середине 19 века в работах ирландского ученого У. Гамильтона и английских ученых А. Кэли и Дж. Сильвестра. Основы теории матриц созданы немецкими учеными К. Вейерштрассом и Т. Фробениусом. Название «матрица» происходит от латинского слова matrix (матрица), означающего «источник», «начало». Определение 1.1. Матрица – это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, элементами которой являются числа, функции или иные величины, над которыми можно производить алгебраические операции. Обозначения: или , где – элементы матрицы; – номер строки, ; – номер столбца, ; – размер матрицы. Если , то матрица называется квадратной, тогда – это порядок матрицы. Пример 1.а) размера . б) – квадратная матрица 3-го порядка. в) – размера (матрица-столбец). г) – размера (матрица-строка). Определение 1.2. Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая верхний левый угол с нижним правым. Элементы, стоящие на главной диагонали, называются диагональными. Воображаемая линия, соединяющая верхний правый и нижний левый углы, называется побочной диагональю. Определение 1.3. Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны 1, а остальные равны 0, называется единичной. Например, единичная матрица третьего порядка имеет вид: . Определение 1.4. Квадратная матрица, элементы которой, стоящие под главной диагональю, равны нулю, называется верхне-треугольной.
Операции над матрицами, их свойства Операция сложения (вычитания). Эти операции можно выполнять только над матрицами одного размера. , , тогда . Пример 1. . Операция умножения матрицы на число. Умножение матрицы размера на число – операция, в результате которой получается матрица , элементы которой равны элементам матрицы , умноженным на число . , тогда . Пример 2.Пусть в 1-й магазин в первый раз завезли 10 холодильников, 12 телевизоров и 8 стиральных машин, а во второй магазин – 5 холодильников, 20 телевизоров и 14 стиральных машин. Тогда общий завоз товаров в 1-й раз можно описать матрицей . Если во 2-й завоз поступление товаров в магазины описывается матрицей , то можно найти суммарный завоз товаров в магазины: . Если завоз товаров в магазины, описываемый матрицей , произведен троекратно, то результирующий завоз будет равен . Свойства операций 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . Доказательство свойства 1 Пусть , , тогда и . Так как элементы этих матриц – числа, а сложение чисел обладает свойством коммутативности, то , , . Следовательно, .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (489)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |