Тема №12. Исследование функции с помощью производной 1,2 порядков
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать: 1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции. 2) Точки разрыва. (Если они имеются). 3) Интервалы возрастания и убывания. 4) Точки максимума и минимума. 5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения. 6) Области выпуклости и вогнутости. 7) Точки перегиба (Если они имеются). 8) Асимптоты (Если они имеются). 9) Построение графика
1.Исследовать функцию и построить ее график. Решение.
Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо конце исследования (рис.2).
Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , - предел слева в точке ; - предел справа. Наклонные асимптоты вида Найдем, если существуют конечные пределы и . Здесь Итак, - уравнение наклонной асимптоты.
5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума. Найдем производную первого порядка. Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х1 = 0, х2 = 3, х3 = 1 - последняя н входит в область определения функции. Используя достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак при переходе через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал , содержащий точку . ; . Так как при переходе через точку производная знак не имеет, то функция монотонно возрастает и не является точкой экстремума. Возьмем интервал , содержащий точку х = 3. ; . Здесь производная меняет знак с «-» на «+», значит, х =3 – точка минимума функции . Итак, функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале (1;3).
6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода. Критические точки второго рода, при которых в нуль или существует, такие , , но эта последняя не входит в область определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак при переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0. Вычислим , . Отсюда следует, что х = 0 – точка перегиба, . . Отсюда следует, что - интервал выпуклости; , - интервалы вогнутости кривой.
Тема №13.Неопределенный интеграл, его свойства, таблица основных интегралов. Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:F¢(x) = f(x). Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. F1(x) = F2(x) + C. Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают: Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Свойства: 1. 2. 3. 4. где u, v, w – некоторые функции от х. 5.
1. Таблица интегралов.
1. Найти неопределенный интеграл . Решение.
Это интеграл от алгебраической суммы функций. Применяя свойства интеграла, получим:
Проверим результат дифференцированием: . 2. Найти неопределенный интеграл . Решение.
Аналогично предыдущему примеру: . Проверка. Продифференцируем полученное выражение: . 3. Найти неопределенный интеграл . Решение.
Преобразуем дифференциал. . 4. Найти неопределенный интеграл . Решение.
Преобразуем дифференциал. . 5. Найти неопределенный интеграл . Решение.
Преобразуем дифференциал.
.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (822)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |