Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума
Рассмотрим функцию z=f(х, у) определенную в некоторой области. Максимумомфункции z=f(x,y) называется такое ее значение f( , ), которое больше всех других значений, принимаемых в точках М(х,у), достаточно близких к точке М1(х],у}) и отличных от нее, т. е. f( , )> f(х, у) Минимумом функции z=f(х, у) называется такое ее значение f(х2, у2), которое меньше всех других значений, принимаемых в точках М(х,у), достаточно близких к точке М2(х2,у2) и отличных от нее, т. е. f(х2, у2)< f(х, у) Максимум и минимум функции называют экстремумом. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума. Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных выражается следующими теоремами: Теорема 1. В точке экстремума дифференцируемой функции все ее первые частные производные равны нулю,если -экстремум ф-ции. Теорема 2. Пусть функция z=/(х,у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0(а, b). Если ее первые частные производные в точке М0 равны нулю, а вторые принимают значения (a,b)=A, (a,b)=B, (a,b)=C, То при -АС<0 и А>0 точка М0 является точкой минимума данной функции, а при В2-АС<0, А<0 точкой максимума, при В2-АС>0 в точке М0 экстремума нет.
47.Метод наименьших квадратов При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:
Известен также вид функциональной зависимости, т.е. y=f(x, , ,…, )=φ(x) (1), где f-заданная функция; , ,…, — параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями ,приведенными в указанной таблице, т.е. разность -φ( ) отлична от нуля для всех или некоторых точек (i = 1, 2, ..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε , и назовем погрешностью: -φ( )=ε (i = 1, 2,..., п) (2) . Значения параметров (k = 0, 1,..., m) функции (1) требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция u= ε = ( -φ( )) (3) принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно). Функция (3) является функцией т+1 переменых , ,..., ат ,т.е. и=и( , , ...., ат)= ( -f( , , ,…, ))2 (4). Если функция и=и( , ..., ат) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений =0, =0, …, =0 (5) Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения параметров a0,a1 ,...,am. Во многих случаях функция (1) определяется формулой y= (x), (6) где (x), (x),..., f т ( x )- известные функции, например, f (x)=x ,f (x)=sin kx, f (x)=cos kx и т.д. Функция (4) в таких случаях принимает вид u= y - ( )) (7), а система (5) запишется так: ( - ( ))(- ( ))=0 ( - ( ))(- ( ))=0(8) ……………………………………. ( - ( ))(- ( ))=0 Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Если (x)= (k = 0, 1, 2,..., m), то f(x, , ,…, )= + x+ +…+ + (9) и система (8) принимает вид: n+ +…+ = ; + +…+ = ; (10) + +…+ * * = .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (418)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |