Интегралы от неограниченнх ф-ий

 

Если ф-ия не ограничена в окрестности точки с отрезка и непрерывна при <c и c<x ,то несобственный интеграл от этой ф-ии определяется формулой

(1)

Где .В случае получаем или получаем

(2)

(3)

Несобственный интеграл (2) или (3) называютсясходящимися , если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла;в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл (1)называется сходящимся ,если существуют и конечны оба предела в правой части.

Для интегралов от неограниченных ф-ий справедливы теоремы :

Теорема 1

Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причем ;если расходится ,то расходится .

Теорема 1

Если при выполнены неравенства и сходится, то сходится и , причем ;если расходится ,то расходится .

 

 

Они применяются для исследования вопроса о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений. В качестве ф-ии, с которой связывают подынтегральную ф-ию ,часто выбирают Легко видеть, что сходится при a<1,расходится при a .

 

 

60.Дифференциальные уравнения (основные понятия)

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной ф-ии и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального урав.назыв-ся порядок старшей производной ,входящей в это уравнение.

Если искомая ф-ия зависит от одной переменной, то соответствующее диф. урав- ие назыв. обыкновенным . Если искомая ф-ция зависит от нескольких переменных , то соответсв-ее диф. уравнение назыв. Уравнением с частными производными .Обыкновенными диф-ое уравн.n-ого порядка в общем виде можно записать так:

=0 (1)

Где x-независимая переменная ; y=y(x) искомая ф-ия переменной -ее производные; -заданная ф-ия своих аргументов .Отметим ,что ф-ия может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от (когда речь идет об уравнениях n-ого порядка).

Если уравнение (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то его можно представить в виде .(2)

Ф-ия , определ. и непрерывно диф-ая n раз в интервале (a,b) назыв. решением диф-ого уравнения (1)в этом интервале ,если она обращает указанное уравнение в тождество, т.е.

Для всех

График решения диф-ого урав. n-ого порядка назыв. интегральной линией (или интегральной кривой).

Задача Коши для диф-ого урав. n-ого порядка состоит в следующем:найти решение y=y(x) уравнения (1),удовлетворяющее условиям

при (3)

Где -заданные числа назыв. начальными данными решения.

Равенства (3),которые назыв. начальными условиями ,можно записать в таком виде:

Условия существования в единственности решения задач Коши для уравнения (2) определ. след-ей теоремой ,приводимой здесь без доказательства.

Теорема 1

Если в уравнении функция и ее частные производные по непрерывны в некоторой замкнутой области G,определ неравенствами

и ,следовательно, ограничены в ней ,т.е

.

(k=0,1,2, … n-1;

Где C>0, ) ,

То существ. единственное решение y=y(x) данного уравн., удовлетворяющее условиям .Это решение определено и непрерывно вместе с производными до порядка n включительно в промежутке где

h= min

Общим решением диф-ого урав. n-ого порядка (1)назыв. ф-ия

(4)

Обладающая след. свойствами:1)при любых значениях произвольных постоянных она обращает урав. (1)в тождество ;2)знач. постоянных можно подобрать так,чтобы она удовлетворяла условиям (3)

Частным решением диф-ого уравнения n-ого порядка называется решение ,получ-ся из общего решения (4)при фиксированных значениях произвольных постоянных, т. е.ф-ия

Где -некоторые числа.

Решение диф-огоуравн.n-ого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Общим интегралом диф-ого уравнения n-ого порядка называется соотношение вида

(5)

Неявно определ-ее общее решение этого уравнения. Частным интегралом диф. урав-я n-ого порядка назыв. соотношение , полученное из общего интеграла путем фиксирования значений произвольных постоянных.

 

№61. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет: (2). Уравнение вида: M₁(x)·N₁(y)dx+M₂(x)·M₂(y)dy=0 (3), а также уравнение вида: y'=f₁(x)·f₂(y) (4) уравнения, которые с пом. алгебраических преобразований приводятся к ур-ям (3) или (4) наз. ур-ми с разделяющимися переменными. Рассмотрим ур-е (3). Допустим, что N₁(y)·M₂(x)≠0. Разделим обе части ур-я (3) на N₁(y)·M₂(x). Получим: ,

Рассмотрим ур-е (4): Домножим обе части ур-я на dx и разделим на f₂(y) в предположении, что f₂(y)≠0.

–общий интеграл.

Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когда M₁(y)·M₂(x)=0 или f₂(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.

 

№62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:

Ур-е: y'+P(x)y=Q(x)(1) линейное относительно неизвестной ф-ии y и её производной y'(а также любое ур-е, с пом. алгебраических преобразований, приводящееся к виду (1) наз. неоднородным линейным дифф-ым ур-ем 1-го порядка. В случае, когда Q(x)=0ур-е наз. однородным линейным дифф-м ур-м 1-го порядка. Ф-ии Q(x),P(x) должны быть непрерывны в нек. области, для того, чтобы выпол. услов. теоремы Коши.

Методы решения:

1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа):

y'+P(x)y=0

ln y|=-

y=

=

y₀=C·

C=C(x)-частное реш. неоднородного ур-я (1)

y_н=C(x)·

d(x)·

C '(x)-C(x)·P(x)+C(x)·P(x)=Q(x)·

y_н=

Общее реш-е неоднор. ур-я (1) имеет вид:

y=y₀+y_н=С·

2.Метод Бернулли:

Любую функцию можно представить в виде произв-я 2-х ненулевых ф-ий y(x)=U(x)·V(x)

U'V+UV'+P·UV=Q

U'V+U(V'+PV)=0=Q

V'+PV=0

V'+PV=0

ln|V|=-

V=C· C=1

V=

U' =0

U'=Q

U=

U=(

U' V+U V'+U Vtgx=

U' V+U(V'+Vtgx)=

V'+Vtgx=0

V'+Vtgx=0

+Vdx=0

ln|V|=ln|cosx|+ln|C|

ln|V|=ln|C·cosx| C=1

V=cosx

U'cosx=

U'=

U=tgx+C

y=(tgx+C)·cosx=sinx+C·cosx

Замечание: Полезно иметь в виду, что иногда дифф-е ур-е явл. линейным относ. х,как функция от у,т.е. может быть приведено к виду: .

 

№63. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

y''+py'+gy=0(1) p, g Є R.

λ²+pλ+g=0(2)

1) λ₁, λ₂, Є R, λ₁≠λ₂

Решение: y_{1= ,} y_{2= ,} y₀₌C_{1 +}C₂

2) λ_1, λ₂ Є R, λ₁₌λ₂=λ

y_{1= ,} y₂=x , y₀=C_{1 +}C₂

3)λ_1, λ₂ Є C, λ_1/2=α±β_i

y_{1= 2=} sinβx

y₀=C_{1 2 1}cosβx+C2sinβx)

Рассмотрим ур-е: y''+py'+gy=f(x)(3)

Во многих случаях правая часть ур-я (3) имеет вид: f(x)= (4), где Pr(x) и Qs(x)-многочлены в степени r и s соответственно, а и в- некоторые постоянные числа.

Известно, что в этом случае частное решение y_н(х) ур-я (3) имеет аналогичную структуру правой части, т.е. частное решение в этом случае необходимо искать

у_н(х)=х^к _m(x)cosbx+Q(x)sinbx)(5), где P_m(x) и Q_m(x)- многочлены степени m

m={r,s}, k=числу корней характеристического ур-я совпадающему числу z=a+b_i

f(x)=

y_н=х^к _m(x)cosbx+Q_m(x)sinbx)

m=max

k: a+b_i

 

64. Производственная функция Кобба-Дугласа:

_{a1 a2 an}

y = f(x) = cx₁ x₂ … x_nx_i – количество i-го фактора

( c , a_i ≥ 0) y – объем выпуска продукции

· Производственная функция Кобба-Дугласа является однородной степени r = a₁ + … +a_n

С учетом отношения: f _xi ( x ) = a_i / x_i f( x ), т.е. ε _{f, xi} ( x ) = a_i, факторные показатели (параметры) a_i называются иногда (частными) производственными эластичностями.

Предельная норма замещения факторов:

Если рассмотреть линию уровня – изокванту производственной функции y = f(x1, …, xn) по высоте y₀ и задаться вопросом, на сколько единиц надо (приблизительно) изменять количество i-го фактора x_i, чтобы при постоянных объеме выпуска и значениях остальных переменных заменить одну единицу k-го фактора, то (при некоторых предположениях) будет определена неявная функция x _k = φ (x_i), призводная которой называется предельной нормой замещения:

φ^/ (x_i) = -f_xi(x)/f_xk(x)

предельная норма замещения (фактор k заменен фактором i)

Чувствительность цены опциона “ колл”

Формула Блэка-Шоулза: P_колл = PФ(d1) – Se^-iTФ(d2), где d1 = 1/σ√T (ln(P/S) + T(i + σ²/2)) и d2 = d1 - σ√T определяет цену: P_колл опциона “колл”(на покупку акции)в зависимости от входных параметров: P (актуальная цена акции), S (базисная цена; цена исполнения, указанная в опционе), i (безрисковая процентная ставка при мгновенном начислении процентов), T (остаточный срок действия опциона), σ² (дисперсия рентабельности акции), Ф (функция распределения стандартного нормального распределения, а φ – ее плотность: φ(x) = (1/√2π)e^-x*x/2

Изменение цены опциона “колл” при изменении i- го входного параметра на ∆x_i(при неизменных фиксированных значениях остальных параметров) можно оценить с помощью частного дифференциала (∂P_колл/∂P)∆x_i, где, например,

∆ = ∂P_колл/∂P = Ф(d1)>0 - дельта; чувствительность цены опциона относительно изменения цены акции P.

65.Числовые ряды: если задана числовая последовательность (u_n), то выражение

u₁ + u₂ + u₃ +… + u_n +…, называется числовым рядом.

ⁿ

Если существ. lim S_n = S, где S_n = ∑ u_k = u₁ + u₂ +… + u_n −

_{n - ∞ k=1}

его n –ая частичная сумма, то ряд назыв. сходящимся (число S – сумма ряда),

в противном случае – расходящимся.

Если ряд сходится, то

lim u_n = 0

_{n - ∞} (необходимый признак сходимости)