Теорема (признак Лейбница)
Знакочередующий ряд сходится, если модули его членов убывают с возрастанием n и общий член стремится к нулю, т. е. аn+1‹аn (n=1, 2, 3,…) и =0 3 Доказательство Рассмотрим частичные суммы ряда с четными и нечетными номерами: S2m=a1-a2+a3-…+a2m-1-a2m, S2m+1= a1-a2+a3-...a2m-1-a2m+a2m+1 Преобразуем первую из этих сумм: S2m= (a1-a2) + (a3-a4) +…+ (a2m-1-a2m), S2m= a1 – (a2-a3) – (a4-a5) -...- (a2m-2-a2m-1) –a2m. В силу условия разность в каждой скобке положительна, поэтому S2m›S2m-2 и S2m‹a1 для всех m. Итак, последовательность четных частичных сумм {S2m} является монотонно возрастающей и ограниченной. Она имеет предел, который обозначим через S, т. е. . Поскольку S2ь+1=S2m+a2m+1, то, принимая во внимание предыдущее равенство и условие, получаем Итак, последовательности частичных сумм данного ряда соответственно с четными и нечетными номерами имеют один и тот же предел S.Отсюда следует, что последовательность всех частичных сумм ряда имеет предел S; , т. е.ряд сходится. Пример Исследовать сходится ли ряд +…. 4 Этот ряд явл. Знакочередующимся. Он сходится, поскольку удовлетворяет условиям теоремы < Оценка остатка знакочередующегося ряда определяется с помощью следующей теоремы. Теорема Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и не превосходит его по модулю. Доказательство Рассмотрим остаток ряда (1) после 2m членов. Пусть – его сумма, r2m=a2m+1-a2m+2+a2m+3-a2m+4+a2m+5-…., 2n= (a2m+1-a2m+2)+(a2m+3-a2m+4)+…..+(a2m+2n-1 -a2m+2n), 2n= a2m+1-(a2m+2-a2m+3)-…..-a2m+2n , Так как выполнены условия теоремы Лейбница, то 2n>0 и 2n<a2m+1 при всех n, т.е. 0< 2n<a2m+1 (n=1,2,3,….) Откуда Или r2m 2m+1 Аналогично доказывается, что сумма R2m-1 остатка ряда после 2m-1 членов (r2m-1=-a2m+a2m+1-a2m+2+a2m+3-….) удовлетворяет условиям 0<-r2m-1<a2m,т.е. r2m-1<0 [r2m-1] Следовательно, независимо от четности или нечетности n [rn] an+1
Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда Ряд вида а0 + а1 х + а2 х2 + … аn хn + … = (1) называется степенным рядом, а – некоторые числа, х – переменная . Коэффициентамистепенного ряда называются числа а0 , а1 , … , аn Пример:1+х+х2 + …+ хn + … = - степенной ряд, все его коэффициенты равны 1.
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной х , при которых соответствующий числовой ряд сходится. Степенной ряд в предыдущем примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем х . Его частичная сумма S = . Эта сумма имеет конечный предел при │х│< 1. Поэтому областью сходимости исходного ряда является интервал (-1; 1). Теорема Абеля а)Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении х=х0≠0, то он сходится Абсолютно при всех значениях х , таких что │х│< │х0│ б)Если степенной ряд (1) расходится при х = х1 , то он расходится при всех значениях х , таких что │х│> │х1│.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (621)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |