Геометрическая интерпретация комплексного числа

Множества. Действия над множествами.

Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку.

Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называют подмножество множества А.

Действия над множествами:

1. Объединение множеств (А U В).

Объединением множества А и В назыв. такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В, и только из них. В этом случае пишут: А U В.

2. Вычитание множеств:

Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлеж. множеству В, назыв. разностью множеств А и В и обознач. А \ В.

Если А принадл.В, то разность А \ В назыв. дополнением множества В до множества А.

2. Метод математической индукции.

Сочетания. Формула числа сочетаний.

Произведение последовательных натуральн.чисел от единицы до n называется n-факториалом, и обозначается n!.

Напр., 1*2*3*n=n!.

Сочетанием из n-элементов по k-элементов называется любое подмножество из k элементов множества, содержащего n элементов.

Число сочетаний из n-элементов по k элементов обозначается C^k_n, и вычисл.по формуле C^k_n=n!/k!(n-k)!

Свойства сочетаний:

1. C^k_n =C^n-k_n

2. C^k_n + C^k+1_n+1

Бином Ньютона.

Формула Бинома Ньютона позволяет возводит двучлен а+в в любую натуральную степень n.

Ньтоном было установлено, что (a+b)ⁿ=C⁰_naⁿbⁿ+ C¹_na^n-1b^n-1+ C²_na^n-2b^n-2 +…+C^k_na^n-kb^n-k + … + Cⁿ_na⁰bⁿ, где C^k_n – число сочетаний.

Эта формула позволяет возводить двучлен в любую стпень, доказывается методом математич. индукции.

Если необходимо найти член разложеня с номером k, то он будет вычисляться по формуле: C^k-1_na^n-(k-1)b^k-1 .

Действительные числа. Модуль действительного числа.

Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел, а каждая такая дробь называется действительным числом.

Модулем действит.числа называется число a является само число a, если оно положительное или равно 0, и число –a, если оно отрицательное.

│a│= a, если a≥0

- a, если a<0

Комплексные числа. Операции над компл. числами в алгебр.форме.

Действит.чисел не достаточно для решения многих практических задач. Простейшее квадратн.уравнение x²+1=0 во множестве действит.чисел решить нельзя. Для расширения понятия числа ввели обозначение √-1=i, и назвали "мнимой единицей", т.е. x²=-1.

Комплексным числом z назыв.число вида a+bi, где a и b – действит.числа, а i – мнимая единица. 2 комплексн.числа z1=a+bi и z2=c+di считаются равными, если равны их действит.части и коэффициенты при мнимых частях (a=c, b=d).

Числа z1=a+bi и z2=a-bi назыв. сопряженными.

Числа z1=a+bi и z2=-a-bi назыв. противоположными.

Операции над комплексн.числами (z1=a+bi, z2=c+di);:

1). Сложение: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d). Для сложениянеобход. сложить их действит.части и коэффициенты при мнимых частях.

2). Вычитание: z1-z2=(a+bi)-(c-di)=(a-c)+i(b-d).

3). Умножение: z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac)+adi+cbi+bdi²=ac+i(ad*cb)-bd . !(bdi²=-bdi).

4). Деление: z1/z2=a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=ac-adi+bci-bdi²/c²-d²i²=ac+bd+(bc-

- ad)i/c²+d²=ac+bd/c²+d² + (bc-ad)i/ c²+d²

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Т.к каждому комплексн.числу z=a+bi соответствует пара действит.числе a и b, а каждой паре действит.чисел на плоскости соответств. единственная точка, то комплексные числа можно изображать точками координатн.плоскости. На оси абсцисс (ОХ) откладывается действит.часть (a), поэтому эту ось назыв.действительной осью; на оси ординат (ОУ) откладывается коэффициент при мнимой части, поэтому эту ось назыв. мнимой.

Т.к. каждому комплексн.числу z=a+bi соотв. единственная точка с координатами (a;b), а каждой точке плоскости соотв. свой радиус вектор,то комплексн. числа можно изображать при помощи векторов

Длина радиусвектора соотв.комплексн. числу z=a+bi, назыв. модулем комплексн.числа и обознач. r, а угол, образован.радиус-вектором с положит.направлением ОХ, назыв. аргументом комплексн.числа и обознач. arg z:

│z│=r= √a²+b².

z=a+bi

b/r=sin φ a/r=cos φ