П.2. Построение доверительных интервалов с использованием центральной статистики

Определение 24.5. Центральной статистикой для параметра Q называется функция Ф(х₁, …, х_n, Q) = Ф(Х; Q), где х₁, …, х_n – случайная выборка, распределение которой не зависит от Q при любых х_k (k = 1, …, n), Ф(Х, Q) непрерывна и монотонна по Q.

Схема построения доверительных интервалов с использованием центральной статистики следующая.

1) По известной функции распределения центральной статистики
Ф(Х_n, Q) находятся числа m₁ и m₂, удовлетворяющие условию

Р(m₁ £ Ф(Х_n, Q) £ m₁) = 1 - a.

2) Ищутся границы и из уравнений

= Ф^-1(X_n, m₁), = Ф^-1(X_n, m₂),

если Ф(Х_n, Q) монотонно возрастающая функция, и

= Ф^-1(X_n, m₂), = Ф^-1(X_n, m₁),

если Ф(Х_n, Q) монотонно убывающая функция.

Ф^-1(Х_n, Q) – функция, обратная Ф(Х_n, Q).

Данный метод удобно применять при построении доверительных интервалов для оценки независимых параметров а и s² нормального распределения.

Известно следующее утверждение.

Теорема. (Теорема Фишера) Пусть выборка х₁, х₂, …, х_n извлечена из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s². Пусть и – выборочная средняя и дисперсия – случайные величины, принимающие различные значения в различных выборках. Тогда

1) СВ имеет нормальное распределение с параметрами M(N^*) = 0, D(N^*) = 1.

2) СВ имеет распределение c²(n – 1).

3) СВ имеет распределение Стьюдента t (n – 1).

4) СВ и – независимы.

Данную теорему примем без доказательства.

Построим доверительные интервалы для оценки неизвестных параметров а и s² нормального распределения.

1) По выборке х₁, …, х_n построим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а при известной дисперсии.

Рассмотрим СВ . Данная функция распределена по нормальному закону с параметрами а = 0 и s² = 1, непрерывна и монотонно убывает относительно параметра а. Значит, N^* является центральной статистикой.

Составим двойное неравенство

,

где величины m₁ и m₂ подобраны таким способом, чтобы выполнялось условие . Заметим, что это условие не является однозначным, поэтому, чтобы интервал оказался минимальной длины, следует положить m₂ = - m₁ = t.

Получим

,

где t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t) = g.

П р и м е р 1. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для неизвестного математического ожидания а нормально распределенной СВ Х, если s² = 16, = 12, объем выборки n = 100.

Решение. Поскольку СВ Х распределена нормально и известно s², то

.

Значение t найдем из условия Ф(t) = 0,95. Из таблицы II для функции Лапласа найдем t = 1,96. Получим

,

т.е.

11,216 £ а £ 12,784.

2) В предыдущем пункте мы полагали, что параметр s² известен. Однако на практике такие случаи встречаются редко. Поэтому усложним предыдущую задачу и поставим цель найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания СВ Х, имеющей нормальное распределение при неизвестном параметре s².

Пусть по имеющейся выборке мы рассчитали и выборочную дисперсию .

В качестве центральной статистики в этом случае используем СВ . Действительно, данная случайная величина имеет распределение Стьюдента t(n – 1), не зависящее от , непрерывна и монотонно убывает по а. Найдем значения m₂ = - m₁ = t_g. Получим

или

,

где t_g - квантиль уровня распределения Стьюдента.

П р и м е р 2. Найдем доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а нормально распределенной СВ Х с надежностью 0,95, если (исправленная выборочная дисперсия) равна 16, = 12, n = 100.

Решение. Поскольку , то

.

Для данной задачи

.

Значение t_g = t(0,95; 99) найдем по таблице IV (см. приложение). t_g = 1,984.

12 – 0,7936 £ а £ 12 + 0,7936,

11,2064 £ а £ 12,7936.

Заметим, что при схожих условиях примеров 24.1 и 24.2 доверительный интервал для параметра а в последнем случае оказался шире, что вполне естественно вследствие уменьшения информации о генеральной совокупности во втором примере.

3) Найдем доверительный интервал для неизвестного параметра s² СВ Х, имеющей нормальное распределение.

В качестве центральной статистики используем величину . Действуя аналогично тому, как это делалось в предыдущих случаях, получим

или

,

где квантили х_g и х_1-g находятся из таблицы VI распределения c² при данных .

П р и м е р 3. Найти доверительный интервал для неизвестного параметра s нормально распределенной СВ Х, если = 10, n = 20, a = 0,05.

Решение.

.

Из таблицы VI найдем х_0,975(19) = 32,9, х_0,025(19) = 8,91.

,

57,7 £ s² £ 213,2,

7,6 £ s £ 14,6.

Таблица для c² составляется обычно для n £ 30. При выборках большего объема можно считать, что величина имеет стандартное нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1. Поэтому при расчете доверительного интервала надо полагать , . Значение t определяется из уравнения Ф(t) = g.