Тригонометрические и гиперболические комплексные функции
Функции вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов: (5.4) (5.5) На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические функции:
Из определений следует, что функции являются четными, а остальные — нечетными. Сравнивая формулы (5.4) и (5.5) с формулой (5.1) — определением функции , получаем следующие формулы, справедливые при любом (5.6) (5.7) Формулы (5.6) и (5.7) — формулы Эйлера; они связывают тригонометрические и гиперболические функции с показательной. Формула (5.6) при , где — действительная переменная, рассмотрена выше. Так как формулы (5.6) и (5.7) верны при любых значениях , то, заменяя на и учитывая, что и — нечетные, a и — четные функции, можем записать Комбинируя эти формулы с (5.6) и (5.7), получаем представление тригонометрических и гиперболических функций через показательную функцию: , (5.8) (5.9) Эти формулы позволяют использовать при исследовании гиперболических и тригонометрических функций в комплексной области свойства показательной функции и не обращаться к определениям (5.4),(5.5), т.е. не рассматривать более сложные операции — действия с рядами. Так, с помощью (5.8) и (5.9) устанавливается справедливость таких формул сложения, как , . и других формул, в частности формул тригонометрии. Кроме того, что тригонометрические и гиперболические функции выражаются через , они еще и связаны между собой. Соответствующие формулы получаются из (5.8) и (5.9) , . (5.10) Отсюда, в частности, получаются такие формулы, как
Как и в действительной области, тригонометрические функции и являются периодическими и их период равен . Это следует из формул (5.8) (см. пример 3). А гиперболические функции, не будучи периодическими в действительной области, в комплексной области являются периодическими, их период, как и у функции , — мнимое число (это следует из рассмотрения равенств (5.9)). Замечательным свойством, не имеющим аналога в действительной области, является свойство неограниченности (по модулю) функций и . Эти функции могут принимать любые значения, в частности большие единицы. Например, для числа по формуле (5.8) имеем: . Пример 5. Найти и для числа . Решение.По формуле (5.10) , поэтому , , следовательно, и, так как , то . Пример 6. Найти , если . Решение. . , . Пример 7. Найти модуль и аргумент числа , если . Решение. . , , следовательно, .
Комплексный логарифм Понятие функции, обратной показательной функции, как и в действительной области, связано с понятием логарифма числа. Логарифмом комплексного числа называется число такое, что справедливо равенство ; обозначается . Таким образом, . Для нахождения логарифма числа , т.е. для нахождения действительной и мнимой частей числа , запишем число в показательной форме, а число будем искать в алгебраической форме: . Тогда равенство или есть равенство чисел, записанных в показательной форме, и из него находим , то есть . Для искомого числа получаем выражение: , где . Из этого следует, что логарифм комплексного числа определяется неоднозначно; полученное выражение определяет множество значений логарифма данного числа ; обозначается (6.1) Для каждого фиксированного значения получаем определенное число — значение логарифма числа ; если оно называется главным значением логарифма: (6.2) Пример 1. Найти — главные значения и для следующих чисел: а) ; б) . Решение. а) , , . Тогда по формуле (6.2) , а по формуле (6.1) , . б) , , . Тогда по формуле (6.2) , а по формуле (6.1) , . Пример 2.Найти модуль, аргумент, действительную и мнимую части числа . Решение.Найдем модуль и аргумент числа , , . По формуле (6.2) получаем . Поэтому , , . Так как и , то точка, соответствующая числу расположена в первой четверти и, следовательно, . Замечание 1. Введение понятия логарифма числа позволяет определить в комплексной области степень с любым комплексным показателем и показательную функцию с любым комплексным основанием . При и , где — натуральное число, степени и рассмотрены выше; при и , где — целое число , определение к также очевидно. В общем случае при любом комплексном степень определяется формулой (6.3) Аналогично вводится функция с любым комплексным основанием (6.4) В силу бесконечной значности логарифма, каждому числу соответствует бесконечное множество значений степени , определяемой по формуле (6.3), и бесконечное множество чисел, определяемых по формуле (6.4) при . Среди этих множеств выделяются главные значения, которые соответствуют главным значениям логарифмов. Пример 3. Показать, что выражение принимает только действительные значения. Решение.Используем формулу (6.4) . Найдем значение . , .Поэтому действительное число при любом . Пример 4. Найти , где — корень уравнения , удовлетворяющий условию . Решение.Корнем уравнения являются числа Условию удовлетворяет . Для найденного корня , , тогда . Поэтому ответ . Замечание 2. Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида . Решение этого уравнения сводится к нахождению значений выражения , то есть . Пример 5. Решить уравнение . Решение. , получаем , где . Пример 6. Найти из уравнения . Решение. Используем формулу , тогда имеем уравнение , которое сводится к квадратному уравнению . Корни квадратного уравнения и . Тогда и Геометрически это точки, лежащие на прямых и параллельных мнимой оси, расстояние между которыми равно . Как видим, логарифмическая функция вводится, как функция, обратная к показательной, т.е. как решение уравнения , значения функции при любом определяются по формуле (6.1). Функция, очевидно, многозначная и отображает плоскость на каждую из полос: , или . В плоскости с разрезом по лучу возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос , в частности функция — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу (см. рис. 6.1).
В плоскости с разрезом также возможно выделение однозначных ветвей, каждая из которых однозначно отображает эту плоскость на одну из полос , в частности функция — главное значение логарифмической функции отображает плоскость на полосу . Выделение ветви определяется заданием значения функции в одной из точек области. Пример 7. Найти решение уравнения при условии . Решение. Так как дополнительное условие задает значение функции в точке действительной оси, то рассматривается плоскость с разрезом по действительной оси, где главное значение аргумента определяется неравенством . Из дополнительного условия определяем значение , соответствующее выбранной ветви , следовательно, и : , значит, . Находим решение уравнения . . При получаем ответ .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (943)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |