и результатов измерений межлабораторных испытаний

Практическая работа № 1

Точность (правильность и прецизионность) методов

и результатов измерений межлабораторных испытаний

 

Цель работы

Изучение методов оценки повторяемости, воспроизводимости, показателей правильности (характеристик систематической погрешности) результатов измерений и испытаний.

Исходные данные

Данные по 25 параллельным измерениям в 5 лабораториях приведены в таблице 1.1, по 4 измерениям в этих лабораториях приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.1. Исходные данные

№ п/п	1 лаборатория	2 лаборатория	3 лаборатория	4 лаборатория	5 лаборатория
	6,83	6,75	6,76	6,75	6,76
	6,80	6,78	6,79	6,78	6,79
	6,86	6,78	6,71	6,78	6,71
	6,81	6,78	6,76	6,78	6,70
	6,83	6,78	6,70	6,78	6,77
	6,80	6,77	6,70	6,77	6,78
	6,80	6,78	6,70	6,78	6,70
	6,81	6,78	6,71	6,78	6,71
	6,84	6,78	6,76	6,78	6,70
	6,80	6,77	6,70	6,77	6,70
	6,88	6,79	6,78	6,79	6,78
	6,81	6,78	6,71	6,78	6,71
	6,80	6,72	6,70	6,72	6,70
	6,81	6,78	6,71	6,78	6,71
	6,84	6,77	6,70	6,77	6,70
	6,80	6,78	6,76	6,78	6,76
	6,83	6,78	6,70	6,78	6,70
	6,80	6,78	6,70	6,78	6,77
	6,81	6,77	6,71	6,77	6,71
	6,82	6,77	6,72	6,77	6,72
	6,82	6,76	6,72	6,76	6,72
	6,83	6,76	6,73	6,76	6,73
	6,83	6,75	6,73	6,75	6,73
	6,82	6,77	6,72	6,77	6,72
	6,81	6,74	6,71	6,74	6,71

Принятое опорное (условно истинное) значение µ = 6,750.

Термины и определения

Принятое опорное значение (accepted reference value) – значение, которое служит в качестве согласованного для сравнения и получено как:

а) теоретическое или установленное значение, базирующееся на научных принципах;

б) приписанное или аттестованное значение, базирующееся на экспериментальных работах национальной или международной организации;

в) согласованное или аттестованное значение, базирующееся на совместных экспериментальных работах под руководством научной или инженерной группы;

г) математическое ожидание измеряемой характеристики, то есть среднее значение заданной совокупности результатов измерений – лишь в случае, когда а), б) и в) недоступны.

Правильность (trueness) – степень близости результата измерений к истинному или условно истинному (действительному) значению измеряемой величины или в случае отсутствия эталона измеряемой величины – степень близости среднего значения, полученного на основании большой серии результатов измерений (или результатов испытаний) к принятому опорному значению. Показателем правильности обычно является значение систематической погрешности.

Прецизионность (precision) степень близости друг к другу независимых результатов измерений, полученных в конкретных установленных условиях, эта характеристика зависит только от случайных факторов и не связана с истинным или условно истинным значением измеряемой величины. Мера прецизионности обычно вычисляется как стандартное (среднеквадратическое) отклонение результатов измерений, выполненных в определенных условиях.

На изменчивость результатов измерений, выполненных по одному методу, могут влиять многие различные факторы, в том числе:

а) оператор;

б) используемое оборудование;

в) калибровка оборудования;

г) параметры окружающей среды (температура, влажность, загрязнение воздуха и т.д.);

д) интервал времени между измерениями.

Условия повторяемости (repeatability conditions) – условия, при которых независимые результаты измерений (или испытаний) получаются одним и тем же методом на идентичных объектах испытаний, в одной и той же лаборатории, одним и тем же оператором, с использованием одного и того же оборудования, в пределах короткого промежутка времени.

Условия воспроизводимости – условия, при которых результаты измерений (или испытаний) получают одним и тем же методом, на идентичных объектах испытаний, в разных лабораториях, разными операторами, с использованием различного оборудования.

Задание

I. Для 25 измерений в каждой лаборатории:

1. Определить внутрилабораторные дисперсии лабораторий.

2. Определить дисперсию повторяемости.

3. Определить межлабораторную дисперсию.

4. Определить дисперсию воспроизводимости.

II. Для 4 измерений в каждой лаборатории:

5. Повторить расчеты задания I для 4 измерений в каждой лаборатории.

6. Найти дополнительный показатель g для определения диапазонов, в которых находится оценки истинных стандартных отклонений.

7. Определить коэффициенты неопределенности A_r и A_R стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости.

8. Дать оценку (s) истинного стандартного отклонения (s) повторяемости и воспроизводимости для доверительной вероятности Р = 95%.

9. Определить табличным методом коэффициенты неопределенности A_r, A_R и значения неопределенности оценок стандартных отклонений повторяемости s_r и воспроизводимости s_R [1, 6.3.2.4].

10. Определить неопределенность оценок стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости графическим методом [1, В.1, В.2].

11. Определить систематическую погрешность метода измерений.

12. Определить коэффициент неопределенности оценки систематической погрешности метода измерений расчетным методом.

13. Дать оценку неопределенности истинной систематической погрешности метода измерений ( )для доверительной вероятности Р = 95%.

14. Определить коэффициент неопределенности и неопределенность оценки систематической погрешности метода измерений табличным методом [1, 6.3.3.1].

15. Определить коэффициент неопределенности оценки систематической погрешности по каждой лаборатории

16. Определить систематическую погрешность метода измерений по каждой лаборатории.

17. Дать оценку неопределенности истинной систематической погрешности метода измерений ( ) по каждой лаборатории.

18. Определить коэффициент неопределенности оценки систематической погрешности метода измерений каждой лаборатории табличным методом [1, 6.3.3.2].

19. Определить неопределенность оценки систематической погрешности метода измерений для каж

дой лаборатории

Выполнение задания

С целью оценки точности (правильности и прецизионности) метода измерений целесообразно предположить, что каждый результат измерений y представляет собой сумму трех составляющих

y = m + B + e, (1.1)

где m – общее среднее значение (математическое ожидание);

B – лабораторная составляющая систематической погрешности в условиях повторяемости;

e – случайная составляющая погрешности каждого результата измерений в условиях повторяемости.

1. Внутрилабораторная дисперсия по лаборатории i

(1.2)

где k – индекс измерения в i-ой лаборатории;

n – количество измерений в i-ой лаборатории;

– среднее значение результатов измерений в i-ой лаборатории.

. (1.3)

= 6,820; = 6,770; = 6,724; = 6,770; = 6,728.

= 0,000412; = 0,000250; = 0,000774; = 0,000250; = 0,000936.

2. Дисперсия повторяемости

. (1.4)

стандартное отклонение повторяемости s_r = 0,0229.

3. Межлабораторная дисперсия

, (1.5)

где

,

– среднее значение результатов измерений во всех лабораториях;

p – количество лабораторий;

(1.6)

;

;

= 0,001505.

4. Дисперсия воспроизводимости

(1.7)

= 0,002029; стандартное отклонение воспроизводимости s_R = 0,0450.

5. Расчет дисперсии внутрилабораторной и межлабораторных дисперсий, дисперсии повторяемости и воспроизводимости по результатам четырех измерений (таблица 1.2).

Таблица 1.2. Данные с первого по четвертое измерение

№ п/п	1 лаборатория	2 лаборатория	3 лаборатория	4 лаборатория	5 лаборатория
	6,83	6,75	6,76	6,75	6,76
	6,80	6,78	6,79	6,78	6,79
	6,86	6,78	6,71	6,78	6,71
	6,81	6,78	6,76	6,78	6,70

Средние значения измерений в каждой лаборатории

= 6,825; = 6,773; = 6,755; = 6,773; = 6,740; = 6,773.

Внутрилабораторные дисперсии

= 0,0007; = 0,000225; = 0,0011; = 0,000225; = 0,0018.

Дисперсия повторяемости = 0,00081; стандартное отклонение повторяемости s_r = 0,0285.

Дисперсия средних значений = 0,004117; стандартное отклонение средних значений s_d = 0,0642.

Межлабораторная дисперсия = 0,000827; межлабораторное стандартное отклонение s_L = 0,0288.

Дисперсия воспроизводимости = 0,001637; стандартное отклонение воспроизводимости s_R = 0,0405.

6. Дополнительный показатель g

. (1.8)

g = 0,0405/0,0285= 1,4216.

7. Коэффициент неопределенности стандартного отклонения повторяемости A_r

(1.9)

; A_r = 0,3578.

Коэффициент неопределенности стандартного отклонения воспроизводимости A_R

(1.10)

; A_R = 0,4556.

8. Оценка s стандартного отклонения повторяемости s_r и воспроизводимости s_R

(1.11)

Откуда P[–As < s – s < +As] = P; P[s(1 – A) < s < s(1 + A)] = P;

P[s_r(1 – A_r) < s_r < s_r(1 + A_r)] = 0,95; P[0,018277< s_r < 0,038644] = 0,95;

P[s_R(1 – A_R) < s_R < s_R(1 + A_R)] = 0,95; P[0,022021< s_R < 0,058812] = 0,95;

9. Определение неопределенности повторяемости и воспроизводимости.

Таблица 1.3. Коэффициенты неопределенности стандартных

отклонений повторяемости и воспроизводимости

Количество лабораторий p	Ar	AR
n=2	n=3	n=4	g=1	g=2	g=5
n=2	n=3	n=4	n=2	n=3	n=4	n=2	n=3	n=4
5	0,62	0,44	0,36	0,46	0,37	0,32	0,61	0,58	0,57	0,68	0,67	0,67
	0,44	0,31	0,25	0,32	0,26	0,22	0,41	0,39	0,38	0,45	0,45	0,45
	0,36	0,25	0,21	0,26	0,21	0,18	0,33	0,31	0,30	0,36	0,36	0,36
	0,31	0,22	0,18	0,22	0,18	0,16	0,28	0,27	0,26	0,31	0,31	0,31
	0,28	0,20	0,16	0,20	0,16	0,14	0,25	0,24	0,23	0,28	0,28	0,27
	0,25	0,18	0,15	0,18	0,15	0,13	0,23	0,22	0,21	0,25	0,25	0,25
	0,23	0,17	0,14	0,17	0,14	0,12	0,21	0,20	0,19	0,23	0,23	0,23
	0,22	0,16	0,13	0,16	0,13	0,11	0,20	0,19	0,18	0,22	0,22	0,22

В соответствии с ближайшими числами по количеству лабораторий (5), количеству измерений (4) и вычисленному дополнительному показателю гамма g (1,4216) определяют коэффициенты неопределенности A_r и A_R стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости. Значения неопределенности оценок стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости

P[s_r(1 – A_r) < s_r < s_r(1 + A_r)] = 0,95; P[0,0182147< sr < 0,038706] = 0,95;

P[s_R(1 – A_R) < s_R < s_R(1 + A_R)] = 0,95; P[0,027483< sR < 0,053350] = 0,95;

10. Неопределенности оценок стандартных отклонений повторяемости и воспроизводимости графическим методом (рис. 1.1 и 1.2).

Рис. 1.1. Ожидаемая величина, на которую s_r может отличаться

от истинного значения s_r на уровне вероятности 95%

 

По графику на рис. 1.1 неопределенность s_r составляет 35%, откуда

P[s_r(1 – 0,35) < s_r < s_r(1 + 0,35)] = 0,95; P[0,018499< s_r < 0,038422] = 0,95.

По графику на рис. 1.2 неопределенность s_R составляет 52,5%, откуда

P[s_R(1 – 0,325) < s_R < s_R(1 + 0,325)] = 0,95; P[0,027281< s_R < 0,053552] = 0,95.

11. Систематическая погрешность метода измерений

, (1.12)

где m – принятое опорное значение.

d = 6,773– 6,750= 0,023.

Рис. 1.2 Ожидаемая величина, на которую s_R может отличаться

от истинного значения s_R на уровне вероятности 95%

 

12. Коэффициент неопределенности оценки систематической погрешности метода измерений

(1.13)

; A = 0,6951.

13. Оценка неопределенности истинной систематической погрешности метода измерений ( )

P[d – As_R < < d+As_R] = P. (1.14)

P[-0,058077< < -0,001923] = 0,95.

14. Коэффициенты неопределенности оценки систематической погрешности метода измерений приведены в таблице 1.4 в соответствии со значениями n, p, g.

 

 

Таблица 1.4. Коэффициенты неопределенности оценки

систематической погрешности всех лабораторий

Количество лабораторий p	Значение A
g=1	g=2	g=5
n=2	n=3	n=4	n=2	n=3	n=4	n=2	n=3	n=4
5	0,62	0,51	0,44	0,82	0,80	0,79	0,87	0,86	0,86
	0,44	0,36	0,31	0,58	0,57	0,56	0,61	0,61	0,61
	0,36	0,29	0,25	0,47	0,46	0,46	0,50	0,50	0,50
	0,31	0,25	0,22	0,41	0,40	0,40	0,43	0,43	0,43
	0,28	0,23	0,20	0,37	0,36	0,35	0,39	0,39	0,39
	0,25	0,21	0,18	0,33	0,33	0,32	0,35	0,35	0,35
	0,23	0,19	0,17	0,31	0,30	0,30	0,33	0,33	0,33
	0,22	0,18	0,15	0,29	0,28	0,28	0,31	0,31	0,31

В этом случае неопределенность оценки систематической погрешности будет выражаться как P[-0,047783< < -0,012216] = 0,95.

15. Коэффициент неопределенности оценки систематической погрешности по каждой лаборатории

. (1.15)

A_wi = 0,98.

16. Систематическая погрешность метода измерений по каждой лаборатории

. (1.16)

D₁ = 6,825– 6,750= 0,075; D₂ = 6,773– 6,750= 0,023;

D₃ = 6,755– 6,750= 0,005; D₄ = 6,773– 6,750= 0,023;

D₅ = 6,740– 6,750= (-0,010).

17. Внутрилабораторная неопределенность оценки систематической погрешности

P[D – A_ws_r < < D+A_ws_r] = 0,95. (1.17)

P[0,047109< < 0,102891] = 0,95; P[-0,005391< < 0,050391] = 0,95;

P[-0,022891< < 0,032891] = 0,95; P[-0,005391< < 0,050391] = 0,95;

P[-0,037891< < 0,017891] = 0,95.

18. Коэффициент неопределенности оценки систематической погрешности метода измерений каждой лаборатории определяется по таблице 1.5.

 

 

Таблица 1.5. Коэффициенты неопределенности оценки

систематической погрешности каждой лаборатории

Количество результатов испытаний n	Значение Aw
5	0,88
	0,62
	0,51
	0,44
	0,39
	0,36
	0,33
	0,31

A_w = 0,88.

19. Оценка неопределенности систематической погрешности метода измерений ( ) (1, 6.3.3.2) по каждой лаборатории.

P[0,049955< < 0,100045] = 0,95; P[-0,002545< < 0,047545] = 0,95;

P[-0,020045< < 0,030045] = 0,95; P[-0,002545< < 0,047545] = 0,95;

P[-0,035045< < 0,015045] = 0,95.