Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0
Теорема Ролля (о корнях производной) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b). Тогда на интервале (a;b) существует точка с, a < c < b, в которой производная функции f(x) равна нулю, т.е. f `(c)=0 Д-во: По свойству неопределенных функций на отрезке функция f(х) принимает на отрезке [a;b] наибольшее и наименьшее значение, обозначим соответственно M,m. 1) M=m => f(x) = M = m - f(x) = c – const, f `(x) = c` = 0. 2) M≠m => f(a) = f(b). Пусть M или m – достигается во внутренней точке. По теореме Ферма, f `(c) = 0. Теорема Лагранжа Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , дифференцируема на всем интервале (a;b) . Тогда на (a;b) существует точка с , a < c < b, такая, что (f(b) – f(a))/ (b - a) = f `(c) или f(b) – f(a) = f `(c) (b-a). Д-во: Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = [f(x) – f(a)] - (x-a). Она a) a)определена и непрерывна на [a;b], так как функция f(x) непрерына на [a;b]; b) существует F`(x): F`(x) = f `(x) – [ ]. c) F(a) = F(b) = 0. Таким образом, для F(x) выполнены все условия теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Нетрудно проверить, подставляя x=a и x=b , что F(a) = 0 и F(b) = 0, т.е. F(a) = F(b). Поэтому и существует с принадлежащая [a;b] такая, что F`(c) = f `(c) – [ ]=0. Но когда в этой точке с = f `(c), что и дает формулу Лагранжа.
Теорема Коши Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и g(x) ≠ 0 на интервале (a;b). Тогда существует точка с, a< c < b, такая, что Д-во: g(a) ≠ g(b) (т.к. по теореме Ролля существует с | g `(c) =0). Рассмотрим функцию F(x) = [f(x) – f(a)] – *[g(x)-g(a)] 1) Функция определена и непрерывна на [a;b]; 2) Существует F `(x) = f `(x) – * g `(x); 3) F(a) = F(b) = 0 F(x) – удовлетворяет теореме Ролля Существует c принадлежащая (a;b) | F `(c) = f `(c)- * g `(c) => g(x) = x
Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции Если функция аргумента х задана параметрически: α ≤ t ≤ β, Где φ(t) и ψ(t) – дифференцируемые функции, причем φ`(t) ≠ 0, то производная этой функции по переменной х вычисляется по формуле . Док-во: Пусть и – дифференцируемы и ≠ 0. Кроме того, будем считать, что функция х = имеет обратную функцию t = φ -1(x), которая также дифференцируема. Тогда функцию, заданную параметрически, можно рассматривать как y = ψ(t), t = φ -1(x), считая t промежуточным аргументом. Продифференцируем функцию y = ψ(t), t = φ -1(x) по правилу дифференцирования сложной функции, получим y`(x) = ψ`(t)*t`(x). Производную t`(x) найдем по правилу дифференцирования обратной функции: t`(x) = . Итак, окончательно имеем: если , то . Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0 Пусть a принадлежит R и выполнены 2 условия: 1) Функции f(x) и g(x) определены и непрерывны в U(a,б) или U*(a,б); 2) В U(a,б) или U*(a,б) существуют f `(x) и g`(x), причем при любом x принадлежащем U*(a,б) g`(x) ≠ 0; 3) = = 0; 4) Существует k. Тогда существует k. Док-во: Докажем это утверждение для a принадлежащего R. 1)Пусть x принадлежит U*(a,б). Для точки a возможны 2 случая: а)функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a. Тогда из условия получаем f(a)=g(a)=0. b) Пусть x принадлежит U*(a,б), функции f(x) и g(x) разрывны в точке a. Тогда точка a – точка устранимого разрыва 1 рода. Доопределим функции, полагая f(a)=g(a)=0. Таким образом можно считать, что f(x) и g(x) непрерывны в U(a,б). 2) Пусть Пусть x принадлежит U(a,б). Рассмотрим функции f(x) и g(x) на [a;x] (или [x;a]). Они удовлетворяют теореме Коши. Тогда по формуле Коши = Где a < c < x (или x < c < a). Поэтому при x -> a также будет c -> a. Переходя к пределу, получим = = k, Так как последний предел существует.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (752)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |