Производная по направлению
8.1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня.
Если в каждой точке области пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины. Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина есть числовая функция. Примерами скалярных полей являются: поле электрического потенциала, давление в атмосфере, поле температур и другие. Если в пространстве введена декартова система координат, то . Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – геометрические места точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение. Поверхности уровня данного скалярного поля определяются уравнением. .
Пример. Найти поверхности уровня скалярного поля . Решение. Область определения данного скалярного поля находится из неравенства , т.е. . Неравенство показывает, что поле определено вне кругового конуса и на нем самом, кроме его вершины . Поверхности уровня определяются уравнением , где , т.е. или . Это есть семейство круговых конусов, расположенных вне конуса, с общей осью симметрии с общей вершиной , в которой данное поле не определено, причем сам конус также входит в это семейство. Скалярное поле называется плоским, если существует декартова система координат, в которой поле задается числовой функцией от переменных. Для . Геометрической характеристикой плоских скалярных полей служат линии уровня – геометрические места точек, в которых скалярная функция имеет одно и то же значение. Линии уровня определяются уравнением , где . Пример. Написать уравнение линии уровня скалярного поля , проходящей через точку , если поле задано неявно уравнением . Решение. Линии уровня данного скалярного поля определяются уравнением , или . Учитывая тот факт, что , при найдем: . Следовательно, уравнение линии уровня запишется в виде .
8.2. Производная от функции по данному направлению
Пусть скалярное поле определено в области . Зафиксируем точку и выберем некоторое направление, определяемое вектором ; если существует предел , то его называют производной функции по данному направлению в заданной точке , где , , . Пусть в пространстве введена декартова система координат, тогда . Пусть функция дифференцируема в точке . Производную функции в точке по направлению вектора вычисляют по формуле . - направляющие косинусы вектора .
Пример. Вычислим производную скалярного поля в точке параболы по направлению кривой (в направлении возрастания абсцисс).
. Производная по направлению для плоского скалярного поля будет равна .
8.3. Градиент скалярного поля
Градиентом скалярного поля в данной точке называется вектор . Градиент и производная по направлению связаны формулой , где . по величине и направлению дает наибольшую скорость изменения функции . в данной точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (600)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |