Законы арифметических действий над действительными числами
Тема № 1. Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений I. Теоретический материал Основные понятия · Натуральные числа · Десятичная запись числа · Противоположные числа · Целые числа · Обыкновенная дробь · Рациональные числа · Бесконечная десятичная дробь · Период числа, периодическая дробь · Иррациональные числа · Действительные числа · Арифметические действия · Числовое выражение · Значение выражения · Обращение десятичной дроби в обыкновенную · Обращение обыкновенной дроби в десятичную · Обращение периодической дроби в обыкновенную · Законы арифметических действий · Признаки делимости
Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Такую запись чисел называют десятичной. Например: 24; 3711; 40125. Множество натуральных чисел принято обозначать N. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами. Например, числа 7 и – 7. Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целыхчисел. Его принято обозначать Z. Например: – 37; 0; 2541. Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью. Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например: , . Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q. Например: ; – 17,55; . Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей. Например: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… . Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки. Например: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857). 2,73000… = 2,73(0). Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R. Например: ; 0,(23); 41,3574… Число является иррациональным. Для всех чисел определены действия трёх ступеней: · действия I ступени: сложение и вычитание; · действия II ступени: умножение и деление; · действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня. Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым. Например: ; . Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения. Числовое выражение не имеет смысла, если содержит деление на нуль. При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок. Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др. При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной. Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой. Например: ; . Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число. Например: ; ; . Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо: 1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода; 2) записать эту разность числителем; 3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде; 4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. Например: ; . Законы арифметических действий над действительными числами 1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется: . 2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется: . 3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой: . 4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением: . 5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения: . 6. . 7. . 8. . 9. , . 10. . Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1. Признаки делимости Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости. Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8. Например: 12834; –2538; 39,42. Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например: 2742; –17940. Признак делимости на 4. Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Например: 15436; –372516. Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5. Например: 754570; –4125. Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например: 846; –76455.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2251)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |