Далее рассмотрим примеры
Глава 5. Тема2. Исследование функции и построение эскиза её графика. Кривизна графика в точке. Для наглядного описания функции часто используют её графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции. Например: где функция пересекает ось ОХ, ось ОУ; на каких интервалах она возрастает и на каких убывает; есть ли у неё локальные экстремумы; каково направление выпуклости графика; имеются ли разрывы графика; какова асимптотика и так далее. Для точных расчетов графики функций используются редко. Однако бывает очень полезно изучить график перед проведением точных расчётов, так как из графического поведения функции видно какие алгоритмы и вблизи каких точек графика применять наиболее целесообразно. Для построения графика дифференцируемой функции используют алгоритмы дифференциального исчисления. Рекомендуемый порядок исследования функции и построения её графика приведён ниже. 1)Указать область определения функции . 2) Указать нули функции, если это возможно. 3)Отметить конкретные особенности: чётность, периодичность. 5)Найти промежутки монотонности функции и указать её локальные экстремумы. 6)Уточнить характер выпуклости графика и указать точки перегиба графика. 7)Выяснить асимптотическое поведение функции: с указанием уравнений вертикальных и наклонных асимптот. 8) Отметить характерные точки графика, например, точки пересечения графика функции с осью ОУ, если они есть и их возможно вычислить. Очень полезно вычислить две, три конкретные точки графика функции.
Далее рассмотрим примеры. Пример 2.1. Исследовать функцию и построить её график 1. Данная функция есть многочлен пятой степени. Область определения D многочлена интервал 2. Определим нули функции. В данном случае это возможно 3. Функция нечётная, так как 4. Определим участки монотонности и локальные экстремумы. Вычислим критические точки функции. У многочлена у всех критических точек . Отсюда Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу Производная положительна на интервалах . Производная отрицательна на интервалах . Вычисляем значения функции в критических точках и заполняем таблицу.
Используя правило 1.1 нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной получаем. При х =- локальный максимум, при х=0 экстремума нет, при х= локальный минимум. 5. Исследуем функцию на выпуклость. Для этого используем правило 1.2. Вычисляем вторую производную, приравниваем её нулю и находим точки «подозрительные на перегиб». Вторая производная положительна на интервалах Производная отрицательна на интервалах .Определяем точки подозрительные на перегиб. Вычисляем значения функции в точках подозрительных на перегиб и заполняем таблицу.
Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
Используя правило 1.2 нахождения точек перегиба с помощью второй производной, получаем, что точки являются точками перегиба графика функции. 6. Исследуем функцию на асимптотическое поведение. Многочлен не имеет асимптот. 7. График пересекает ось ОУ в точке (0,0). 8. Используя таблицы, строим график функции
Пример 1.2. Исследовать функцию и построить её график 1. Данная функция это дробно- рациональная функция. Область определения D есть множество 2. Определим нули функции. В данном случае это возможно 3.Функция общего вида 4. Определим участки монотонности и локальные экстремумы. Вычислим критические точки функции. В этих точках либо , либо не существует. Вычисляем производную функции . В точке . В точке . Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу Производная положительна на интервале . Производная отрицательна на интервалах . Вычисляем значения функции в критических точках. В точке , , в точке значения функции не существует. Заполняем таблицу.
Используя правило 1.1 ( нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной) получаем. При локальный минимум, при х=0 экстремума нет. 5. Исследуем функцию на выпуклость. Для этого используем правило 1.2. Вычисляем вторую производную, приравниваем её нулю и находим точки «подозрительные на перегиб». Вторая производная равна . В точке . Точка подозрительная на перегиб имеет координаты . Определяем знаки на интервалах. положительна на интервалах . отрицательна на интервале . Согласно правилу 1.2 точка является точкой перегиба графика. Для определения знаков второй производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
6. Находим асимптоты графика функции. Асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Наклонная асимптота имеет уравнение . Алгоритм нахождения параметров известен. Сначала определяем . Затем определяем Уравнение наклонной асимптоты найдено . При график также имеет асимптоту . Легко находим, что есть уравнение вертикальной асимптоты
7. График не пересекает ось ОУ. 8. Используя таблицы, строим график функции
Пример 1.3. Исследовать функцию и построить её график 1. Данная функция это дробно- рациональная функция. Область определения D есть множество 2. Определим нули функции. В данном случае это возможно 3.Функция общего вида . 4.с помощью первой производной определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. Стационарными точками являются точки, в которых : Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
Используя правило 1.1 нахождения локальных экстремумов получаем. При х=-7 локальный максимум, при х=5 локальный минимум. 5. С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость. Находим точки «подозрительные на перегиб» Точки, в которых производная равна нулю отсутствуют . Точка, в которых вторая производная не существует . Для определения знаков второй производной слева и справа от точки применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
Точек перегиба графика нет.
6. Исследуем поведение функции на бесконечности. Находим наклонную асимптоту. Асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Наклонная асимптота имеет уравнение . Алгоритм нахождения параметров известен. Сначала определяем . Затем Уравнение наклонной асимптоты найдено Проверим , имеет ли данная функция вертикальную асимптоту. Прямая, имеющая уравнение называется вертикальной асимптотой графика функции если бесконечно большая при . Так как , то прямая является вертикальной асимптотой.
7.График пересекает ось ОУ в точке (5,0). 8. Строим график функции.
Пример 1.4. Исследовать функцию и построить её график 1. Область определения D функции интервал 2.Определим нули функции. В данном случае это возможно
3.Так как , то функция нечётная. 4.С помощью первой производной определяем участки монотонности и локальные экстремумы. Вычисляем критические точки функции. Такими точками являются точки в которых :
Для определения знаков производной применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
Используя правило 1.1 нахождения локальных экстремумов с помощью первой производной получаем. При х=-1 локальный минимум, при х=1 локальный максимум. 5.С помощью второй производной исследуем функцию на выпуклость. Находим точки «подозрительные на перегиб».В этих точках или не существует Для определения знаков второй производной слева и справа от этих точек применяем метод интервалов и заполняем соответствующую таблицу
4. Исследуем функцию на асимптотическое поведение. Находим наклонную асимптоту. Асимптота это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при . Наклонная асимптота имеет уравнение . Алгоритм нахождения параметров известен Сначала всегда определяем . Затем П. Уравнение наклонной асимптоты найдено Так как функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.
7. График пересекает ось ОУ в точке (0,0). 8. Строим график функции.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (348)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |