Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Математическое ожидание дискретной случайной величины




Пусть задан закон распределения случайной величины x.

x х1 х2 х3 ¼ хn
P p1 p2 p3 ¼ pn

Математическое ожидание Мx (или М(x)) случайной величины x определяется формулой

Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу:

Количество проданных холодильников
Число дней, в которые было продано столько холодильников

По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 0×3+1×7+2×8+3×9+4×2+5×1 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей

, каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников:



Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения

x
Р p q

Здесь p + q = 1,

Mx = 1×р + 0×q = р

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть x º С, то её математическое ожидание равно С.

2. Если Мx = а, и k – константа, то М(kx) = (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).

3. Если Мx = а, и k – константа, то М(k + x) = k + а (математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).

Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайных величин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов и заданных законами распределения

x х1 ¼ xn   h y1 ¼ yk
Р ¼   Р ¼

М(x + h) = (х1 + у1)Р((x = х1) ∩ (h = у1))+ (х2 + у1)Р((x = х2) ∩ (h = у1)) +¼
+(хi + уj)Р((x = хi) ∩ (h = уj)) + ¼ + (хn + уk)Р((x = хn) ∩ (h = уk))

Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых. Преобразуем эту сумму следующим образом:

М(x + h) = х1 Р((x=х1)∩(h=у1)) + х1 Р((x=х1)∩(h=у2)) +¼+х1 Р((x=х1)∩(h=уk)) + + х2Р((x=х2)∩(h=у1)) + х2Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + х2Р((x=х2)∩(h=уk)) + ¼

+ хnР((x=хn)∩(h=у1)) + хnР((x=хn)∩(h=у2)) +¼ + хnР((x=хn)∩(h=уk)) +

+ у1Р((x=х1)∩(h=у1)) + у1Р((x=х2)∩(h=у1)) +¼ + у1Р((x=хn)∩(h=у1)) +

+ у2Р((x=х1)∩(h=у2)) + у2Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + у2Р((x=хn)∩(h=у2)) + ¼

+ уkР((x=х1)∩(h=уk)) + уkР((x=х2)∩(h=уk)) +¼ + уkР((x=хn)∩(h=уk)) =

= х1(Р((x=х1)∩(h=у1)) + Р((x=х1)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=х1)∩(h=уk))) +

+ х2(Р((x=х2)∩(h=у1)) + Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=х2)∩(h=уk))) +¼ +

+ хn(Р((x=хn)∩(h=у1)) + Р((x=хn)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=уk))) +

+ у1(Р((x=х1)∩(h=у1)) + Р((x=х2)∩(h=у1)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=у1))) +

+ у2(Р((x=х1)∩(h=у2)) + Р((x=х2)∩(h=у2)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=у2))) + ¼

+ уk(Р((x=х1)∩(h=уk)) + Р((x=х2)∩(h=уk)) +¼ + Р((x=хn)∩(h=уk))) =

= х1Р(x=х1) + х2Р(x=х2) +¼+ хn Р(x=хn) +

+ у1Р(h=у1) + у2Р(h=у2) +¼+ у1Р(h=у1) = Mx + Mh

При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие x=х1 можно представить в виде объединения несовместных событий (x=х1)∩(h=у1), (x=х1)∩(h=у2), ¼, (x=х1)∩(h=уn).

Пример.

Заданы n одинаково распределённых случайных величин x1, x2, ¼, xn с законом распределения

Таблица 1 xi
P p q

Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.

Решение.

M( ) = = np




Читайте также:
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (360)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.01 сек.)