Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Если случайные величины x и h независимы, то




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

М(xh) = ММh

Доказательство.

Если заданы законы распределения двух независимых случайных величин x и h

x х1 ¼ xi ¼ xn   h y1 ¼ yj ¼ yk
Р ¼ ¼   Р ¼ ¼

то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:

М(xh) = =

= х1 +х2 +¼+ хi ¼+ хn =

= х1 Mh + х2 Mh + ¼+ хi Mh¼+ хn Mh = Mh = ММh

Дисперсия случайной величины.

Дисперсия Dxслучайной величины x определяется формулой

Dx = M(x – Mx)2.

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину x с законом распределения

x
Р

Вычислим её математическое ожидание.

Mx = 1× + 2× + 3× =

Составим закон распределения случайной величины x – Mx

x– Mx
Р

а затем закон распределения случайной величины (x – Mx)2

(x– Mx)2
Р

Теперь можно рассчитать величину Dx :



Dx = × + × + × =

Формулу вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно представить в таком виде:

Dx =

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

Dx =

=

= Mx2M2x

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания.

 

Пример.

Найти дисперсию случайной величины, с законом распределения, заданным таблицей 1.Выше было показано, что Mx = р. Легко видеть, что Mx2 = р. Таким образом, получается, что Dx = рр2 = pq.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Дисперсия случайной величины равна нулю в том и только в том случае, когда эта случайная величина – константа (то есть при всех исходах случайного эксперимента принимает одно и то же значение).

Свойства дисперсии.

1. Если с – число, то D(x + с) = D(x)

2. Если k – число, то D(kx) = k2 Dx.

Доказательство.

D(kx) = M(kx – M(kx))2 = M(kx – k Mx)2 = M(k2 (x – Mx)2) = k2M(x – Mx)2 =

= k2 Dx

3. Для попарно независимых случайных величин x1, x2,¼, xn справедливо равенство

Это свойство оставим без доказательства. Из этого свойства, в частности, следует, что дисперсия суммы n независимых случайных величин xi с законом распределения, заданным таблицей 1, равна npq. Теперь можно сделать важный вывод. Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р. Число k появлений события А можно рассматривать как случайную величину. Обозначим эту случайную величину x. Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется бернуллиевской случайной величиной. Несложно понять, что имеет место равенство:x = . Отсюда следует, что математическое ожидание бернуллиевской случайной величины равно пр, а её дисперсия равна пр(1 – р).

Если случайные величины xi и xj зависимы, то дисперсия суммы этих случайных величин не равна сумме их дисперсий. Этот случай разобран в последующих лекциях.

Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.

Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:

x   h
Р 0,25 0,75   Р 0,7 0,3

Показать, что D(x + h) = Dx + Dh.

Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величины. Как видно, среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Задача I. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке. Случайная величина x – число карт между тузом и королём. Найти величины Mx и Dx.

Задача II.

В урне 2 белых, 2 чёрных и 1 зелёный шар. Из урны наудачу извлекаются 3 шара. Случайная величина x – число белых шаров в выборке. Случайная величина h принимает значение 0, если в выборке есть зелёный шар, и принимает значение 1, если в выборке нет зелёного шара. Найти величины Mx и Dx. Проверить выполнение равенства М(x + h) = Мx + Мh и неравенств D(x + h) ¹ Dx + Dh, Мxh ¹ Мx Мh

Задача III.

По прогнозу акции корпорации С1 поднимутся в цене с вероятностью 0,7. Независимо от них акции корпорации С2 поднимутся в цене с вероятностью 0,5. Случайная величина x примет значение 0, если ни одна из акций С1 и С2 не поднимется в цене, значение 1, если только одна из этих акций поднимется в цене, и значение 2, если в цене поднимутся обе акции. Случайная величина h примет значение 0, если акция С1 не поднимется в цене и значение 1, если эта акция поднимется в цене. Найти величины Mx и Dx. Проверить справедливость неравенства D(x + h) ¹ Dx + Dh.

Задача IV. Собрана колода из четырёх карт – туза, короля, дамы и валета, расположенных в произвольном порядке. Случайная величина x – число карт между тузом и королём. Случайная величина h принимает значение 0, если туз оказался перед королём, и значение 1, если туз лежит после короля. Найти величины Mx и Dx. Проверить справедливость равенств D(x + h) = Dx + Dh, Мxh = Мx Мh

 

Ответы. I 2/3, 5/9; II1,2, 0,36, законы распределения случайных величин x + h и xh имеют вид

x + h   xh
Р 0,1 0,4 0,3 0,2   Р 0,6 0,2 0,2

III1,2, 0,46; IV2/3, 5,9

 




Читайте также:
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (754)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.018 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7