Фигуры из кусочков квадрата

К числу полезных и увлекательных развлечений относится составление фигур из семи кусочков квадрата, разрезанного в соответствии с рис.3, (а), причем при составлении заданных фигур должны быть использованы все семь кусочков, и они должны налегать, даже частично, друг на друга.

На рис. 4 приведены симметричные фигуры[1]. Попробуйте сложить эти фигуры из частей квадрата, изображенного на рис. 3, (а).

 

(а) (b)

 

Рис.3

 

Рис. 4

 

Из этих же чертежей можно складывать и многие другие фигуры (например, изображения различных предметов, животных и т.п.).

Менее распространенным вариантом игры является составление фигур из кусочков квадрата, изображенного на рис. 3, (b).

Магические квадраты

Магические квадрат «n²-квадратом» назовем квадрат, разделенный на n² клеток, заполненных первыми n² натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу

Если одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называется полумагическим.

 

 

 

Магический 4² –квадрат назван именем Дюрера, математика и художника XVIвека, изображавшего квадрат на известной картине «Меланхолия».

Кстати, два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514-дату создания картины.

 

Существует лишь восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным изображением друг друга, приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращение их вокруг центра на 90°, 180°, 270°

 

2. Нетрудно полностью исследовать вопрос о магических квадратов при n=3

Действительно,S₃ = 15 , и существует лишь восемь способов представления числа 15 в виде суммы различных чисел (от единицы до девяти):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 – в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7, 9 – в остальных клетках квадрата.

 

Приложение

1. Как известно, .

Если перебирать по порядку эти множители, то через каждые «шагов»

будут встречаться множители, кратные простому числу ; число их

равно , но из них множителей делятся на , - делятся на и

т.д.

Следовательно, число множителей в равенстве в состав которых множитель входит ровно один, два, три и т.д. раза, соответственно равно числам:

Поэтому

2. Нетрудно полностью исследовать вопрос о магических квадратах при n=3. Действительно, S₃=15, и существует лишь восемь способов представления числа 15 в виде суммы различных чисел (от единицы до девяти):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.

Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8- в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7,9 – в остальных клетках квадрата.

 

 

 

 

 

Удивительные встречи с занимательной математикой

Интереснейший набор задач

Прекрасное лицо царицы наук МАТЕМАТИКИ

[1]Фигуры заимствованы из книги В.И. Обреимова «Тройная головоломка»