Кривые второго порядка
Уравнение если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка. Если В=0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай. Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение приводим к одному из следующих канонических видов: 1. – линии эллиптического типа: – эллипс с центром полуосями а и b. Если то уравнение запишется в виде – окружность с центром радиуса R.
2. – линии гиперболического типа: – гипербола с центром вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.
– сопряженная гипербола с центром вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.
3. – линии параболического типа. Здесь возможны четыре случая: либо – параболы с вершиной , где . В первом случае – ось симметрии параллельна оси , во втором – Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.
Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи: 1) : – точка . – мнимый эллипс. 2) : или – пара пересекающихся прямых: 3) : или – пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Координаты вектора. Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно , , . , , , . Любой вектор может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:
, , ,
.
Числа , , проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора в базисе . 3. 2. Основные действия с векторами. Пусть , , – скаляр. 1°. Û , , . 2°. . 3°. . 4°. Длина (модуль) вектора: . 5°. Условие параллельности векторов: || Û . 6°. Чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала . Пример. Найти длину вектора , если , . Решение. По 6°: , . Его длина (4°): (ед). 3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле: .
Угол между векторами: Условие перпендикулярности векторов: Û Û . Проекция вектора на направление : .
Пример. Найти угол между векторами ; . Решение. Находим ; ,
; ,
.
3. 4. Векторное произведение. Векторным произведением на называется вектор , удовлетворяющим трем условиям 1. , 2. ; , 3. образуют правую тройку, т. е. с конца вектора вращение от к , по наименьшему углу, выглядит против часовой стрелки. Обозначают . Обратите внимание, . — модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Если известны координаты сомножителей, то
.
Пример. Построить векторы , , . ; . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Решение. Найдем вектор . .
Сделаем чертеж. На векторах и , как на сторонах, строим параллелограмм ОАВD. Его площадь численно равна , т. е. длине вектора .
;
Площадь параллелограмма . 3. 5. Смешанное произведение трех векторов есть число
. В координатной форме : .
Модуль смешанного произведения — численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах. Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая. Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.
.
3.6. Разложение вектора по базису. Любые три вектора , , , не лежащие в одной плоскости, могут быть приняты за базис в . Всякий вектор может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде . Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
; , . Решение. Найдем смешанное произведение
,
Объем Пример. Убедиться, что векторы не лежат в одной плоскости, написать разложение вектора по векторам если ; ; ; .
Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .
не лежат в одной плоскости и могут быть приняты за базис. 2) Разложим вектор по векторам : . Чтобы найти запишем это равенство для каждой координаты
Решив систему уравнений любым известным способом, находим ; ; . Значит, .
3. 7. Плоскость и прямая в пространстве 1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости есть уравнение первой степени относительно :
.
Вектор перпендикулярен к плоскости. 2. Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение
.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , :
4. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле
Пример. Найти расстояние до плоскости, проходящей через точки , , , от начала координат. Решение. Составим уравнение плоскости
,
; .
Расстояние от начала координат до плоскости
.
5. Общие уравнения прямой записываются как линия пересечения двух плоскостей:
если и не коллинеарны. 6. Канонические уравнения:
–прямая, проходящая через точку в направлении . 7. Прямая, проходящая через две данные точки
8. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой с плоскостью определяются соотношениями направляющих векторов и . Например, если плоскости параллельны, то , если прямая параллельна плоскости, то и т. п. Пример. Через точку провести прямую, перпендикулярно плоскости . Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой , так как его длина несущественна, можно взять . Имеем : .
Пример. Точки , , , являются вершинами пирамиды. Вычислить 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) Объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) длину этой высоты. Решение. Найдем координаты векторов — ребер:
.
, ,
.
1) Длина вектора . 2) , ,
Скалярное произведение: , ,
.
Из таблиц (или с помощью калькулятора) находим . 3) Площадь грани .
Векторное произведение
;
,
4) Объем пирамиды . Смешанное произведение
,
.
5) Уравнения прямой пишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:
; ;
.
6) Уравнение плоскости по трем точкам:
.
; ;
.
7) Уравнение высоты . Канонические уравнения прямой: . Прямая проходит через точку , в качестве направляющего вектора возьмем вектор — нормаль к плоскости .
8) Длина высоты может быть найдена как расстояние т. от плоскости
или
; .
Комплексные числа 4.1.Комплексным числом называется выражение вида: , где и — любые действительные числа, а — так называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию . Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа . Комплексные числа можно представлять точками плоскости или же векторами этой плоскости.
4. 2. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается через , так что . Угол , образованный вектором с положительным направлением оси называется аргументом комплексного числа и обозначается
.
, где – главное значение , определяемое условиями , причем,
Так как , , то — тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера
можно перейти от тригонометрической формы к показательной
.
4. 3. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: ; . Или когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную :
,
4. 4. Основные действия над комплексными числами. При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части .
, .
Умножение: . Деление:
.
Возведение в степень целое):
.
Корень из комплексного числа целое):
.
Корень – ой степени из любого числа имеет различных значений, которые располагаются в вершинах правильного – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Пример. Даны комплексные числа в алгебраической форме: ; . Записать их в тригонометрической и показательной формах, изобразить на комплексной плоскости. Выполнить указанные действия: , , , . Найти все корни уравнения , изобразить их на плоскости. Решение. Изобразим числа и на комплексной плоскости
, , .
,
.
Тригонометрическая форма:
, .
Показательная форма числа: ; . Для ; ; ;
,
Выполним действия:
1) ,
2) ,
Умножаем по правилу умножения многочленов, учитывая, что или . (При умножении показатели складываются).
3) .
В показательной форме: . (При делении показатели вычитаются). 4) . Лучше это действие выполнять в показательной форме . Найдем корни уравнения , . Корень третьей степени из комплексного числа имеет три различные значения. В данном случае .
, ,
имеют одинаковый модуль, значит они располагаются на окружности с центром в начале координат, радиусом , так как разность аргументов , то они лежат в вершинах правильного вписанного треугольника.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (719)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |