ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами. Студент должен: иметь представление: · о способах задания множеств; · о диаграммах Эйлера. знать: · определение множества, отношений; · операции и свойства операций над множествами; · свойства отношений. Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений. Основные понятия теории графов. Студент должен: иметь представление: · о связи понятия графов и понятия отношения. знать: · определение графов и его элементов; · виды графов и операции над ними.
Графы. Основные определения. Элементы графов. Виды графов и операции над ними. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Студент должен: знать: · понятия: событие, частота и вероятность появления события, совместные и несовместные события, полная вероятность; · теоремы сложения вероятностей; · теоремы умножения вероятностей. уметь: · находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятности; · решать задачи с применением теорем сложения и умножения вероятностей.
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей.
Случайная величина, ее функция распределения. Студент должен: знать: · способы задания случайной величины; · определение дискретной и непрерывной случайной величины; · закон распределения случайной величины. уметь: · строить ряд распределения случайной величины; · находить функцию распределения случайной величины.
Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Студент должен: знать: · определения числовых характеристик случайной величины: математического ожидания, дисперсии дискретной случайной величины; · определение квадратичного отклонения случайной величины. уметь: · находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по заданному закону ее распределения; · находить среднее квадратичное отклонение случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины. Основные численные методы Численное интегрирование Студент должен: знать: · способы представления функции в виде прямоугольников и трапеций; · формулу Симпсона; · выражения для определения предельных абсолютных погрешностей; уметь: · вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций по формуле Симпсона. Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона. Абсолютная погрешность при численном интегрировании. Численное дифференцирование Студент должен: знать: · интерполяционные формулы Ньютона; · таблицу конечных разностей; уметь: · по табличным данным находить аналитическое выражение производной. Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной.
Примеры решения упражнений Пример 1. Вычислите пределы фукций: 1) ; 2) ; 3) . Решение. 1) 2) Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель на множители: 3)
Ответ. 1) 11, 2) –1, 3) 2. Пример 2. Найдем производные следующих функций: 1) ; 2) ; 3) . Решение. 1) Полагаем, что , тогда . Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем: . 2) Полагаем, что , тогда . Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем: . 3) Имеем, что Пример 3. Исследуем функцию и построим эскиз ее графика: Решение. 1. Определим область существования этой функции. Функция существует при всех значениях х, кроме , при котором знаменатель дроби обращается в нуль. Значит, функция определена в интервалах (— , —1) (—1, + ). 2. Исследуем вопрос о наличии центра симметрии к оси симметрии. Проверим для этого, выполняются ли равенства или . Непосредственная подстановка убеждает нас, что ни одно из этих равенств не выполняется, так что ни центра, ни оси симметрии график функции не имеет. 3. Определяем точки разрыва. Числитель и знаменатель дробно-рациональной функции представляют собой непрерывные функции и, следовательно, функция у будет непрерывной при всех значениях х, кроме , при котором знаменатель дроби обращается в нуль. 4. Переходим к определению асимптот графика. а) Вертикальные асимптоты найдем, приравняв знаменатель нулю: 2(х+1)2 = 0; отсюда . Вертикальная асимптота одна: ее уравнение . б) Горизонтальные асимптоты находим так: отыскиваем , а это означает, что горизонтальных асимптот нет. в) Наклонные асимптоты:
Наклонная асимптота одна: 5 и 6. Определяем интервалы возрастания и убывания функции и экстремум функции. Находим первую производную: . Определим критические точки: 1) Решаем уравнение , т. е. уравнение и находим, что . 2) Определяем значения х, при которых . Таким значением является Но это значение не должно подлежать рассмотрению, так как оно не входит в область определения функции. Критические точки, подлежащие рассмотрению: и точка – разделяют область существования функции на такие интервалы: . В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом — плюс, во втором — минус, в третьем — плюс, в четвертом — плюс (в этом можно убедиться, взяв в каждом интервале произвольное значение х и вычислив при нем значение у'). Последовательность знаков первой производной запишется так: +, —, +, +. Значит, в интервале функция возрастает, в интервале – убывает, в интервалах функция возрастает. При функция имеет максимум и . Так как знаки во втором и третьем интервалах различны, то можно было бы предположить, что при есть экстремум. Но такое предположение неверно, так как при заданная функция не существует. Итак, функция имеет единственный экстремум (максимум) при . 7. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба. Находим, что и определяем критические точки второго рода: 1) решаем уравнение и находим, что ; 2) определяем значения х, при котором . Таким значением является . Как уже было отмечено выше, это значение рассматриваться не должно, так как при нем не существует заданной функции. Критическая точка второго рода разделяет интервалы (— , —1) и (—1, + ). существования функции на интервалы: , и . В каждом из этих интервалов вторая производная конечна и сохраняет знак: в первом – минус, во втором – минус, в третьем – плюс, и мы имеем такое чередование знаков второй производной в этих интервалах: —, —, +. Значит, в интервалах и кривая выпукла, а в интервале (0, + ∞) — вогнута. При вторая производная равна нулю, а при переходе из второго интервала в третий она поменяла знак. Это указывает на то, что при , кривая имеет точку перегиба. Координаты точки перегиба (0, 0) — это начало координат.
Все полученные сведения наносим на чертеж и получаем эскиз кривой (см. рис. 9). Пример 4. Найдем 1) , 2) Решение. 1)
Произведя подстановку, получим: 2) Так как аргумент подынтегральной функции имеет вид , где , то, применяя вышеназванную теорему, получим: Пример 5. Вычислим . Решение. Положим . Тогда . Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов: , . Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим: Пример 6. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера: Решение. Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдём предел отношения (n+1)-ого члена к n-му члену при : . Следовательно, данный ряд сходится.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (427)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |