Производная сложной функции
Если у = f(u) и u = u(x), то есть - сложная функция , причем функции у = f(u) и u = u(x) дифференцируемые, то . Аргумент u часто называют промежуточной переменной. Это правило выполняется для сложной функции, которая имеет конечное число промежуточных аргументов. Если, например, у = f(u) и u = u(v), v=v(x), то , если f(u) , u(v) и v(x) - дифференцируемые.
Формулы дифференцирования основных функций
1. 8. 2. , 9. , 3. 10. 4. 11. 5. 6. 12. 7. 13.
Примеры. Найти производные функций: 1. у = х4 – 2х3 + 3х + 1 Решение. Используя правила и формулы дифференцирования, получаем: (х4 – 2х3 + 3х + 1)' = = . 2. Решение. Поскольку , то = . 3. Решение. Имеем произведение функций, поэтому 4. Решение. Данная функций является сложной: у = f(u) , u = u(x), где u = х2 + 2х..
Дифференцирование неявно заданных функций
Равенство обозначает у как неявную и дифференцированную функцию от х. Продифференцировав по х обе части равенства, получим линейное, относительно равенство, из которого получим значение . Пример. Найти , если у > -5: (1) Решение. Поскольку у функция от х, то у2 – сложная функция и . Продифференцируем обе части равенства по х: (2) Подставляя в равенство (1) х = 0, получим откуда Поскольку у > -5, то . Используя (2), имеем .
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной функции у = f(x) называется производная от логарифма этой функции: В некоторых случаях предварительное логарифмирование значительно упрощает дифференцирование функции, а для функции вида есть единственно возможным способом дифференцирования. Примеры: Найти производную функции . Решение: Логарифмируя обе части равенства получаем , откуда . Поэтому, = = Найти производную показательно-степенной функции . Решение: Имеем = =
Производные высших порядков. Производную или называют производной первого порядка функции f(x). Производная называется производной второго порядка и обозначается одним из символов: . В общем виде производную n –го порядка (или n-ой производной) называется производная от производной порядка (n – 1), то есть . Обозначения, например: . Пример. Найти производную n –го порядка функции у = cos x. Решение. Последовательно дифференцируя, получим: у = cos x = сos(x+0 ) x = cos(x+1 ) x = cos(x+2 ) x = cos(x+3 ) ………………………………. cos(x+n ), n=
Параметрически заданные функции и их дифференцирование
Первую производную функции, заданной параметрически находим по формуле . Вторую производную удобно вычислять по формуле: .
Пример. Найти производную второго порядка функции Решение. Согласно формуле: Далее, . Правило Лопиталя
Правило Лопиталя дает возможность раскрыть некоторые виды неопределенности, используя производную. Оно основывается на данной ниже теореме. Теорема. Пусть функции и определенные и дифференцируемые в окружности точки , за исключением, возможно, самой точки а, и пусть в этой окружности. Если функции и являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при и к тому же существует отношение производных , то существует также предел , причем эти пределы равны между собой: = . Теорема справедлива и в том случае, когда . Если производные и , n > 2, удовлетворяют тем же самым условиям, что и функции и , то = . Теорема дает возможность раскрыть неопределенность типа , которые будем называть основными. Чтобы раскрыть неопределенности типа 0, необходимо вначале привести их к основным и применить правило Лопиталя. Пример. 1. 2. = 3. 4. 5.
Откуда, . 6. , действительно, . Напомним, что во многих случаях пользуемся равенством .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (535)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |