После изучения тем РАЗДЕЛА 1

Студент должен выполнить контрольную работу № 1

РАЗДЕЛ 2

Неопределённый и определённый интегралы

 

ТЕМА 3. Интегральное исчисление функции одной переменной. ([1], гл.7, гл.8); ([2] стр.85 №2, 3, 7, 20, 24, 36, 48, 115, 119; стр. 104 №255,256,268,269,290 ).

Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям.

Разложение рациональных дробей на сумму простейших. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений.

Определение определённого интеграла, его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Геометрические и физические приложения определённого интеграла.

Несобственные интегралы на конечном и бесконечном интервалах.

 

Методические указания

Выпишите таблицу основных формул интегрирования. На примерах разберите метод подстановки и метод интегрирования по частям.

Важно понять определение определённого интеграла как предела интегральной суммы и вытекающие из него приложения к геометрическим и физическим задачам.

 

Вопросы для самопроверки

1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла.

2. Таблица основных интегралов.

3. Замена переменной в неопределённом интеграле.

4. Метод интегрирования по частям.

5. Определение определённого интеграла. Его геометрический смысл и свойства.

6. Формула Ньютона-Лейбница.

7. Вычисление площадей, длин дуг, объёмов с помощью определённого интеграла.

8. Несобственные интегралы первого и второго рода. Сходимость и расходимость.

 

После изучения РАЗДЕЛА 2

Студент должен выполнить контрольную работу № 2

РАЗДЕЛ 3.

Линейная алгебра, векторы, аналитическая геометрия

 

ТЕМА 4. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений.([1], гл.10), ([2], стр.124 №8, стр.129 №38).

Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства. Определители n-го порядка, их вычисление.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса.

Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и её решение.

 

Методические указания

Один из главных вопросов этой темы – решение систем линейных уравнений. Следует твердо усвоить метод Крамера и метод Гаусса, знать условия их применения. Наиболее универсальным из них является метод Гаусса, называемый также методом исключения неизвестных. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

 

Вопросы для самопроверки

1. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц. Обратная матрица.

2. Определители второго, третьего, и высших порядков. Их свойства и способы вычисления.

3. Понятие решения системы линейных уравнений. Совместные, несовместные, неопределённые системы.

4. Формулы Крамера, условие их применения. Метод Гаусса решения и исследования систем.

 

ТЕМА 5. Векторы.([1], гл.9, §1-§8), ([2], стр.155 №6, 37, 38, 46, 72, 83).

 

Векторы, линейные операции над ними.

Скалярное, векторное, смешанное произведения, их свойства и вычисление через координаты перемножаемых векторов.

 

Методические указания

Понятие вектора используется как в самой математике, так и в других дисциплинах. Изучая тему, выпишите определения коллинеарных, равных, компланарных векторов, определения скалярного, векторного, смешанного произведений. Научитесь вычислять скалярное, векторное, смешанное произведения по координатам перемножаемых векторов.

 

Вопросы для самопроверки

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами.

2. Координаты вектора.

3. Определение скалярного произведения двух векторов, его свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.

4. Формула длины вектора, угла между двумя векторами, формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

5. Определение векторного произведения двух векторов, его свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.

6. Определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.

 

ТЕМА 6. Аналитическая геометрия.([1], гл.3, §6-7; гл.9, §11-§14); ([2] стр.22 №41; стр.168 № 105,119, 131, 151).

Прямая на плоскости, различные формы её уравнения.

Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение плоскостей и прямых.

Кривые второго порядка, их свойства.

Полярные координаты на плоскости.

 

Методические указания

В аналитической геометрии изучение фигур на плоскости и в пространстве производится с помощью их уравнений. В декартовой системе координат на плоскости уравнение вида Ax+By+C=0 определяет некоторую прямую, а в пространстве уравнение вида Ах + Ву + Сz + D = 0 определяет плоскость. Прямая линия в пространстве задаётся как линия пересечения двух плоскостей.

 

Вопросы для самопроверки

1. Определение линий и поверхностей в аналитической геометрии.

2. Виды уравнений прямой на плоскости.

3. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, по трем точкам. Общее уравнение плоскости.

4. Общие, канонические, параметрические уравнения прямой в пространстве.

5. Определение и канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

6. Полярные координаты на плоскости. Уравнение линии в полярных координатах. Формулы перехода от полярных координат к декартовым.