Замечательные пределы
Первый замечательный предел: . Второй замечательный предел: .
Пример 1. Вычислить пределы функции при
Решение.В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента. а) . Здесь применима теорема о пределе частного.
б) .
При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида . Неопределенность вида при может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида(х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на(х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби .
Таким образом, в) Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю. г) Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
д) .
Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.
Чтобы раскрыть неопределенность вида при , каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.
так как (по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).
Замечание. Полезно запомнить, что при предел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях. В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х2многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен . Ответы. Пример 2.Найти предел . Решение. Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим: МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
8. Дифференцирование функций одной переменной
8.1. Основные определения
8.1.1.Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум). 8.1.2.Дифференцирование– операции нахождения производных (частных производных) функций и их дифференциалов. 8.1.3.Дифференцируемая функция– функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные для функции нескольких переменных. 8.1.4.Производная– основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции при изменении аргумента x. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . Обозначения производной: или или или . Таким образом, . Численно производная равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции , её называют второй производной и пишут: . Аналогично определяется производная любого (целого) порядка n: . Производная называется первой производной или производной первого порядка, вторая, третья производная и т.д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции. 8.1.5. Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную. 8.2. Механический смысл производной:скорость есть первая производная пути по времени, т.е. . 8.3. Геометрический смысл производной:тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е. Уравнение касательной к графику функции в точке : Уравнение нормали к графику функции в точке :
Таблица производных
Рассмотрим примеры. Найти производные функций: Пример 1: Решение: +
Пример 2: Решение: Пример 3: Решение:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (459)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |