Основные способы решения уравнений
Функции и графики Основные обозначения и определения.Множество всех действительных чисел будем обозначать через R. Часто мы будем рассматривать не все множество R, а некоторые его подмножества. Тот факт, что множество А содержится во множестве R, обозначают через . Например, для множества всех целых чисел Z справедливо включение . В общем случае числовое множество А задается так: , где Р(х) — некоторое свойство, которому удовлетворяют элементы множества А и только они. Например, отрезок от 1 до 2 можно определить так: . Числовые множества связывают друг с другом посредством функций. Определение. Пусть . Функцией f на множестве А будем называть правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственное число f(х) (функцию обозначают f: ). При этом множество А называют областью определения функции f и обозначается через D(f). Графиком функции f : называют следующее подмножество координатной плоскости Г(f) = . Часто правило, о котором идет речь в определении функции, является алгебраическим выражением от переменной х. В этом случае мы будем говорить, что функция задана формулой. Вспомним некоторые функции, их свойства и графики. Пример 1. Линейная функция задается формулой f(х)=kx + b. D(f)=R. Г(f) — прямая. Смысл коэффициентов k и b следующий: k = tga, где a угол наклона Г(f) к оси Ох, а b задает смещение Г(f) относительно начала координат вдоль оси Оу (проще говоря, b = f(0)). При k = 0 прямая Г(f) параллельна оси Ох. Пример 2. Формула при задает квадратичную функцию. D(f)=R. Г(f) -парабола. Знак коэффициента а, как известно, указывает на направление ветвей параболы, с = f(0) — ордината точки пересечения параболы с осью Оу. С осью абсцисс Г(f) пересекается только при условии в точках . Вершина параболы имеет координаты (х0, у0), где , а . Пример 3. Областью определения квадратного корня, т.е. функции , является R+ = . Г(f) может быть получен симметрией относительно прямой у = х из графика функции , рассмотренной на множестве R+. Пример 4. Функция обратной пропорциональной зависимости задается формулой , где . , Г(f) — гипербола, расположенная в первом и третьем координатных углах при при k > 0, и во втором и четвертом - k < 0. Пример 3. Функция абсолютной величины, или модуля, определяется следующим образом f(x) = |x| = x, если , - х, если . Из определения немедленно следует неравенство при всех . Кроме того , при решении некоторых уравнений полезно помнить о геометрическом свойстве модуля: |x| - это расстояние на числовой прямой от х до 0. Основные способы решения уравнений Уравнение с одной переменной в общем виде выглядит так: , (1) где - некоторые алгебраические выражения. Областью допустимых значений (сокращенно — ОДЗ) этого уравнения называют общую часть множеств и , т. е. Все такие х, для которых одновременно определены левая и правая части уравнения. Корнем уравнения (1) (или его решением) называется такое х0, что верно числовое равенство . Уравнения и называются равносильными (обозначается факт равносильности так: ) , если множества их решений совпадают. Например, |x|=1. Рассмотрим нескольких стандартных способов решения уравнений. I. Переход к совокупности уравнений. Через А обозначим ОДЗ уравнения . Тогда на множестве А это уравнение равносильно совокупности уравнений и (решением совокупности является объединение решений каждого из ее уравнений). Например, II. Замена переменной. Начнем с примера . Предположим, что нам необходимо решить уравнение . Сделаем замену . Тогда . Поэтому данное уравнение сводится к . Откуда у =1 или . Делая обратную замену, обнаруживаем, что корень у = 1 не дает решений относительно х, а из получим два искомых корня: х = 2, х = . Итак, суть метода замены переменной в следующем: (а) выделение некоторого выражения относительно х (т. е. преобразование уравнения к равносильному ); (б) нахождение {y1, …..yn} — множества всех решений уравнения , где ; (в) «обратная замена», т.е. нахождение решения совокупности уравнений . Далее рассмотрим несколько типичных иррациональных уравнений с модулем. III. , . Нетрудно заметить, что из последнего условия следует . Поэтому при решении иррационального уравнения этим методом не надо находить ОДЗ исходного уравнения. Решим уравнение Х х = -1. IV.
Справедливость этого метода сразу следует из геометрического свойства модуля. Например,
V. . Для решения этого уравнения достаточно воспользоваться следующим алгоритмом.
Решим уравнение Второе подмодульное выражение обращается в ноль только при , первое всегда отлично от нуля. Кроме того, в точке х = 0 подмодульные выражения не определены. Знаки подмодульных выражений на каждом из четырех промежутков легко определяются подстановкой внутренних точек. Раскроем теперь модули на каждом из промежутков. 1 случай: . После раскрытия модулей получим . Последнее уравнение преобразуется к уравнению без корней. 2 случай: . На этом промежутке имеем . Это уравнение имеет корень , который лежит в рассматриваемом промежутке. 3 случай: . Получаем или . 4 случай: . Раскрывая модули на этом последнем промежутке, получим уравнение . Оно сводится к квадратному уравнению с корнями х = - 4 и х = 2. Условию удовлетворяет только х = 2. Итак, искомые решения составляют множество { } Метод интервалов Метод интервалов используется при решении неравенств довольно общего вида: f(x) V g(x), где V — знак ≤, ≥, <, >. Единственным ограничением на функции f и g является требование их непрерывности. Отметим, что все элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1143)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |