Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Числовые последовательности. Пределчисловойпоследовательности




Пусть каждому натуральному числу nпоставлено в соответствие действительное число xп. Тогда говорят, что задана последовательность чисел x1, x2, x3, …, xn, … .

Числа x1, x2, x3, …, xn, будем называть элементами (или членами)последовательности, xnобщимчленомпоследовательности. Сокращенно последовательность обозначается .

Например:

1) 1, 3, 5, …, 2n – 1 – арифметическая прогрессия.

d = 2;xn= 2n – 1; x100 = 2 ·100 – 1 = 199.

d =x2 x1 = x3x2 = … разность прогрессии.

2) геометрическая прогрессия.

q= знаменатель прогрессии.

x5= ;

3)

xn= ;

Определение 1.Последова­тельность {xn} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа mиMтакие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

Пример:

В противном случаи последова­тельность {xn} называется неограниченной.

Пример:

1, 2, 3, …, nнеограниченная последовательность.

Определение 2.Числоa называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого ε> 0найдетсячисло N (номер), зависящее от ε, такое, что для всех натуральных чисел n>Nвыполняется неравенство:

Тогда последовательность {xn} называется сходя­щейся,и в этом случае пишут:

Пример:

Для любого

Так как , то

Пусть , тогда .

Следовательно 99.

Например:

, тогда .

 

 

 

 

Лекция 4.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

 

Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Пусть функция y =f(x) определена в некоторойокрестностиx0,кроме, может быть, самой точки x0.

Определение.ЧислоA называется пределом функцииy =f(x) в точке x0 (или при х →x0), если для любого сколь угодно малого числа ε> 0найдетсятакоечисло δ> 0, что для всех х ¹x0, удовлетворяющих неравенству

х –x0│< δ, выполняется неравенство│f(x) –А│<ε.

Или кратко:

ε> 0 δ > 0, x:│ х –x0│< δ, х ¹x0=> │f(x) –А│<ε.

Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число , если для любой ε – окрестности точкиAнайдется такая δ – окрестность точки x0, что для всех х ¹x0 из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε – окрестности точки А.

Рис. 1

Пример:Доказать, что

Решение. Возьмем произвольное и найдем такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство , то есть .

Взяв , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, , выполняется неравенство , следовательно,

 

Пусть функция y =f(x) определена в промежутке (– ; + ).

 

Определение.ЧислоA называется пределом функцииf(x) при х , если для любого числа ε > 0существуеттакоечисло M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │x>M,выполняется неравенство │f(x) – А│< ε. В этом случае пишут f(x) = А.

Или кратко:

ε> 0 M> 0, │x│ >M=> │f(x) –А│<ε.

f(x) = А.




Читайте также:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (296)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.005 сек.)