 |
Главная |
Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений
 2015-12-13 |
 578 |
 Обсуждений (0) |
из
5.00
|
1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.
Матрица коэффициентов перед переменными:
X = 
‒ матрица переменных.
В = 
‒ матрица свободных членов.
Тогда система (2) примет вид:
A×X = B ‒ матричное уравнение.
Решив уравнение, получим:
X = A-1×B
Пример:
; 
; 
1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 ¹ 0 
матрица А-1 существует.
2) AT= 
;
3) 
à = 
4) А-1 = 
× Ã = 
;
Х = А-1 × B 
Ответ: 
2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:
Решим эту систему методом подстановки:
Из первого уравнения следует:
Подставив во второе уравнение, получим:
Подставляем значение 
в формулу для 
, получим:
= 
Определитель Δ — определитель матрицы системы;
Δ x1 — определитель переменной x1;
Δ x2 — определитель переменной x2;
Формулы:
x 1 = 
; x 2 = 
;…, xn = 
; Δ ¹ 0;
‒ называются формулами Крамера.
При нахождении определителей неизвестных х1, х2,…, хnзаменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.
Пример:Решить систему уравнений методом Крамера
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:
Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
где Δ 1, Δ 2, Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким образом:
ЛЕКЦИЯ № 5
Вопрос 1. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему:
Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.
При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n) форме.
Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.
Алгоритм метода Гаусса:
1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.
2) Если а11 ¹ 0, то первую строку делим на а11 и умножаем на (– a21) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m–той строки:
I стр. делим на а11 и умножаем на (– аm1) и прибавляем m – тую стр.
При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x1.
3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x2 , начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.
В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).
Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом.
Пример:
Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы
с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыAb, получим матрицу:
Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу
К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу
Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:
,
Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных: 
| 2015-12-13 |
578 |
Обсуждений (0) |
из
5.00
|
Обсуждение в статье: Вопрос 2. Методы решения систем линейных уравнений |
|
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы