Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Общее решение однородной линейной системы



2015-12-14 635 Обсуждений (0)
Общее решение однородной линейной системы 0.00 из 5.00 0 оценок




Рассмотрим однородную линейную систему

. (1)

Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение называемое тривиальным.

Пусть ранг матрицы системы r<n. Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся m – r уравнений являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих. Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений:

.

Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

(2)

Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных выражающее их через остальные неизвестные ( ), которым можно придавать любые произвольные значения. Таким образом, система (2) при r<n является неопределенной.

 

Определение. Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные ( ) – свободными неизвестными.

 

Определение Решения системы (2) (3) называются линейно независимыми, если линейная комбинация дает нулевой столбец только при

Покажем, что число линейно независимых решений системы (1) равно n – r.

Действительно, рассмотрим столбцы вида

(4) содержащие по n-r чисел. Очевидно, что эти столбцы линейно независимы, а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией. Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы (1).Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы (2) по правилу Крамера, и все решения системы, соответствующие наборам свободных неизвестных (3), образуют n-r линейно независимых столбцов вида (4), то есть n-r линейно независимых решений системы (1).

 

Определение. Любые n – r линейно независимых решений системы (1) называются ее фундаментальной системой решений.

 

Определение. Фундаментальная система решений линейной однородной системы, в которой свободные неизвестные задаются по формулам (4), называется нормальной фундаментальной системой решений.

 

Теорема (без доказательства). Любое решение однородной линейной системы (1) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений.

 

Таким образом, любое решение системы (1) имеет вид:

, где - фундаментальная система решений.

 

Пример.

Решим систему . Найдем ранг матрицы системы . Преобразуем ее к виду: . Очевидно, что r(A)=2.

Пусть - базисные неизвестные, - свободные неизвестные. Заменим исходную систему системой из первых двух уравнений, коэффициенты которых входят в базисный минор, и перенесем базисные неизвестные в правые части уравнений:

. Пусть . Тогда Если

то Получена фундаментальная система решений: .

Теперь общее решение системы можно записать в виде: , где С1 и С2 – любые произвольные числа.

 




2015-12-14 635 Обсуждений (0)
Общее решение однородной линейной системы 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Общее решение однородной линейной системы

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (635)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.005 сек.)