Лекция 9. Генераторы случайных чисел
В основе метода Монте-Карло (см. Лекцию 8. Статистическое моделирование) лежит генерация случайных чисел, которые должны быть равномерно распределены в интервале (0; 1). Если генератор выдает числа, смещенные в какую-то часть интервала (одни числа выпадают чаще других), то результат решения задачи, решаемой статистическим методом, может оказаться неверным. Поэтому проблема использования хорошего генератора действительно случайных и действительно равномерно распределенных чисел стоит очень остро. Математическое ожидание и дисперсия такой последовательности, состоящей из случайных чисел , должны быть следующими (если это действительно равномерно распределенные случайные числа в интервале от 0 до 1): Если пользователю потребуется, чтобы случайное число x находилось в интервале (a; b), отличном от (0; 1), нужно воспользоваться формулой x = a + (b – a) · r, где r — случайное число из интервала (0; 1). Законность данного преобразования демонстрируется на рис. 9.1.
Рис. 9.1. Схема перевода числа из интервала (0; 1) в интервал (a; b) Теперь x — случайное число, равномерно распределенное в диапазоне от a до b.
За эталон генератора случайных чисел (ГСЧ) принят такой генератор, который порождает последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале (0; 1). За одно обращение данный генератор возвращает одно случайное число. Если наблюдать такой ГСЧ достаточно длительное время, то окажется, что, например, в каждый из десяти интервалов (0; 0.1), (0.1; 0.2), (0.2; 0.3), …, (0.9; 1) попадет практически одинаковое количество случайных чисел — то есть они будут распределены равномерно по всему интервалу (0; 1). Если изобразить на графике k = 10 интервалов и частоты Ni попаданий в них, то получится экспериментальная кривая плотности распределения случайных чисел (см. рис. 9.2).
Рис. 9.2. Частотная диаграмма выпадения случайных чисел, Заметим, что в идеале кривая плотности распределения случайных чисел выглядела бы так, как показано на рис. 9.3. То есть в идеальном случае в каждый интервал попадает одинаковое число точек: Ni = N/k, где N — общее число точек, k — количество интервалов, i = 1, …, k.
Рис. 9.3. Частотная диаграмма выпадения случайных чисел, Следует помнить, что генерация произвольного случайного числа состоит из двух этапов:
Генераторы случайных чисел по способу получения чисел делятся на:
Физические ГСЧ Примером физических ГСЧ могут служить: монета («орел» — 1, «решка» — 0); игральные кости; поделенный на секторы с цифрами барабан со стрелкой; аппаратурный генератор шума (ГШ), в качестве которого используют шумящее тепловое устройство, например, транзистор (рис. 9.4–9.5).
Рис. 9.4. Схема аппаратного метода генерации случайных чисел
Рис. 9.5. Диаграмма получения случайных чисел аппаратным методом
Задача «Генерация случайных чисел при помощи монеты» Сгенерируйте случайное трехразрядное число, распределенное по равномерному закону в интервале от 0 до 1, с помощью монеты. Точность — три знака после запятой. Первый способ решения задачи Начертите интервал от 0 до 1. Считывая числа в последовательности слева направо, разбивайте интервал пополам и выбирайте каждый раз одну из частей очередного интервала (если выпал 0, то левую, если выпала 1, то правую). Таким образом, можно добраться до любой точки интервала, сколь угодно точно. Итак, 1: интервал [0; 1] делится пополам — [0; 0.5] и [0.5; 1], — выбирается правая половина, интервал сужается: [0.5; 1]. Следующее число, 0: интервал [0.5; 1] делится пополам — [0.5; 0.75] и [0.75; 1], — выбирается левая половина [0.5; 0.75], интервал сужается: [0.5; 0.75]. Следующее число, 0: интервал [0.5; 0.75] делится пополам — [0.5; 0.625] и [0.625; 0.75], — выбирается левая половина [0.5; 0.625], интервал сужается: [0.5; 0.625]. Следующее число, 1: интервал [0.5; 0.625] делится пополам — [0.5; 0.5625] и [0.5625; 0.625], — выбирается правая половина [0.5625; 0.6250], интервал сужается: [0.5625; 0.6250]. По условию точности задачи решение найдено: им является любое число из интервала [0.5625; 0.6250], например, 0.625. В принципе, если подходить строго, то деление интервалов нужно продолжить до тех пор, пока левая и правая границы найденного интервала не СОВПАДУТ между собой с точностью до третьего знака после запятой. То есть с позиций точности сгенерированное число уже не будет отличимо от любого числа из интервала, в котором оно находится. Второй способ решения задачи
Табличные ГСЧ Табличные ГСЧ в качестве источника случайных чисел используют специальным образом составленные таблицы, содержащие проверенные некоррелированные, то есть никак не зависящие друг от друга, цифры. В табл. 9.1 приведен небольшой фрагмент такой таблицы. Обходя таблицу слева направо сверху вниз, можно получать равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа с нужным числом знаков после запятой (в нашем примере мы используем для каждого числа по три знака). Так как цифры в таблице не зависят друг от друга, то таблицу можно обходить разными способами, например, сверху вниз, или справа налево, или, скажем, можно выбирать цифры, находящиеся на четных позициях.
Достоинство данного метода в том, что он дает действительно случайные числа, так как таблица содержит проверенные некоррелированные цифры. Недостатки метода: для хранения большого количества цифр требуется много памяти; большие трудности порождения и проверки такого рода таблиц, повторы при использовании таблицы уже не гарантируют случайности числовой последовательности, а значит, и надежности результата. Ниже находится таблица, содержащая 500 абсолютно случайных проверенных чисел (взято из книги И. Г. Венецкого, В. И. Венецкой «Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе»).
Алгоритмические ГСЧ Числа, генерируемые с помощью этих ГСЧ, всегда являются псевдослучайными (или квазислучайными), то есть каждое последующее сгенерированное число зависит от предыдущего: ri + 1 = f(ri). Последовательности, составленные из таких чисел, образуют петли, то есть обязательно существует цикл, повторяющийся бесконечное число раз. Повторяющиеся циклы называются периодами. Достоинством данных ГСЧ является быстродействие; генераторы практически не требуют ресурсов памяти, компактны. Недостатки: числа нельзя в полной мере назвать случайными, поскольку между ними имеется зависимость, а также наличие периодов в последовательности квазислучайных чисел. Рассмотрим несколько алгоритмических методов получения ГСЧ:
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2068)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |