Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где k = const.

Т.к. то

 

При этом многочлен называется характеристическим многочленомдифференциального уравнения.

Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

т.е.

Т.к. e^kx ¹ 0, то - это уравнение называется характеристическим уравнением.

 

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения k_i соответствует решение дифференциального уравнения.

 

В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение e^kx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

и .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

 

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

Пример. Решить уравнение .

 

Составим характеристическое уравнение:

 

Общее решение имеет вид:

 

Пример. Решить уравнение

 

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

 

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

 

Общее решение имеет вид:

 

Окончательно:

 

Пример. Решить уравнение

 

Составим характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

 

Общее решение:

 

Пример. Решить уравнение

 

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

 

Окончательно получаем:

 

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у₁ = С₁ получается из общего решения при С = 0.

 

Пример. Решить уравнение

 

Производим замену переменной:

 

Общее решение:

Лекция 18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

 

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

 

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

Пусть - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

 

Далее покажем, что сумма является общим решением неоднородного уравнения.

 

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты C_i функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Можно доказать, что для нахождения функций C_i(x) надо решить систему уравнений:

 

 

Пример. Решить уравнение

Решаем линейное однородное уравнение

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

 

Из соотношения найдем функцию А(х).

 

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ:

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.