Метод простой итерации
Лекция Итерационные методы решения системы алгебраических линейных уравнений. Условие сходимости итерационного процесса. Метод Якоби. Метод Зейделя Метод простой итерации Рассматривается система линейных алгебраических уравнений Ax = b Для применения итерационных методов система должна быть приведена к эквивалентному виду x=Bx+d. Затем выбирается начальное приближение к решению системы уравнений и находится последовательность приближений к корню. Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы было выполнено условие (норма матрицы). Критерий окончания итераций зависит от применяемого итерационного метода.
Метод Якоби. Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итерации, состоит в следующем: Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выразим x2, и т. д. В результате получим систему уравнений с матрицей B, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам: Компоненты вектора d вычисляются по формулам: Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:
или в покоординатной форме записи выглядит так: Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид: Если , то можно применять более простой критерий окончания итераций Пример 1.Решение системы линейных уравнений методом Якоби. Пусть дана система уравнений: Требуется найти решение системы с точностью
Приведем систему к виду удобному для итерации: Выберем начальное приближение, например, - вектор правой части. Тогда первая итерация получается так: Аналогично получаются следующие приближения к решению.
Найдем норму матрицы B. Будем использовать норму
Так как сумма модулей элементов в каждой строке равна 0.2, то , поэтому критерий окончания итераций в этой задаче
Вычислим нормы разностей векторов:
Так как заданная точность достигнута на четвертой итерации. Ответ: x1 = 1.102, x2 = 0.991, x3 = 1.011 Метод Зейделя. Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному xi при Расчетная формула метода в покоординатной форме записи выглядит так:
Условия сходимости и критерий окончания итераций можно взять такими же, как в методе Якоби. Пример 2. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя. Рассмотрим параллельно решение 3-х систем уравнений:
Приведем системы к виду удобному для итераций:
Заметим, что условие сходимости выполнено только для первой системы. Вычислим 3 первых приближения к решению в каждом случае.
1-ая система: Точным решением будут значения: x1 = 1.4, x2 = 0.2. Итерационный процесс сходится.
2-ая система: Видно, что итерационный процесс расходится. Точное решение x 1 = 1, x 2 = 0.2.
3-я система: Видно, что итерационный процесс зациклился. Точное решение x 1 = 1, x 2 = 2.
Пусть матрица системы уравнений A – симметричная и положительно определенная. Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы здесь не накладывается.
Метод простой итерации. Если A – симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x -τ (Ax - b), τ – итерационный параметр. Расчетная формула метода простой итерации в этом случае имеет вид: x (n+1) = x n - τ (Ax (n) - b). Здесь B = E - τ A и параметр τ > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину Пусть λmin и λmax – минимальное и максимальное собственные значения матрицы A. Оптимальным является выбор параметра В этом случае принимает минимальное значение равное: Пример 3. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации. (в MathCAD) Пусть дана система уравнений Ax = b
1. Для построения итерационного процесса найдем собственные числа матрицы A: - используется встроенная функция для нахождения собственных чисел. 2. Вычислим итерационный параметр и проверим условие сходимости
- условие сходимости выполнено. 3. Возьмем начальное приближение - вектор x0, зададим точность 0.001 и найдем начальные приближения по приведенной ниже программе:
Точное решение
Замечание. Если в программе возвращать матрицу rez, то можно просмотреть все найденные итерации.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (986)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |