КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. Стальная колонна (Е = 2×104 кН/см2) находится под действием продольной силы Р = 20 кН и
ПРИМЕР К ЗАДАЧЕ 1.1
Стальная колонна (Е = 2×104 кН/см2) находится под действием продольной силы Р = 20 кН и собственного веса ( g = 78 кН/м3). Требуется: 1. Построить эпюры продольных усилий и нормальных напряжений. 2. Определить опасное сечение и проверить прочность колонны при [s] = 16 кН/ см2. 3. Определить перемещение верхнего среза колонны без учета собственного веса.
РЕШЕНИЕ
Расчетная схема колонны (Рис.2 ) - ступенчатый брус, загруженный заданной сосредоточенной силой Р и распределенной нагрузкой q1, q2, q3 от собственного веса, где q1 = g А1 = g 2А = 78×20×10-4 = 0.156 кН/м; q2 = g А2 = g А =78×10×10-4 = 0.078 кН/м; q3 = g А3 = g 2А =78×20×10-4 = 0.156 кН/м. R - опорная реакция. N, кн s, кн/см2 Рис. 2
Разбиваем стержень на участки, начиная с верхнего свободного конца. Границами участков служат сечения в которых приложены внешние силы или же изменяется площадь поперечного сечения. В данном случае имеем три участка, площади поперечного сечения которых: А1 =2А=20 см2, А2=А=10см2, А3=2А=20см2. Ось z направляем вдоль оси стержня от верхнего среза колонны. Для каждого участка находим внутренние продольные силы NZ методом сечений из условия равновесия отсеченной верхней части (при этом отпадает необходимость в определении реакции заделки R). Нормальные напряжения sz.= 1-ый участок 0 £ z1 £ a 0 £ z1 £ 2 q1 z1 Nz1 z 2 -ой участок a £ z 2 £ a+b 2 £ z2 £ 3 a q1 z2 P q2 Nz2 z 3 -ий участок a+ b £ z3 £ a+b+c 3 £ z 3 £ 6 a q1 P z3 b q2 q3 Nz3 z
Зависимости NZ и sZ линейно зависят от z. Для построения эпюр достаточно вычислить их значения на границах участков. Эпюры NZ и sZ строим рядом с расчетной схемой (рис. 2). Ось абсцисс графиков проводим параллельно оси бруса. По оси ординат откладываем в выбранном масштабе значение продольной силы NZ или нормального напряжения sZ соответственно. Указываем знак. Штриховка должна быть перпендикулярна оси. 2. По эпюре нормальных напряжений sZ определяем опасное сечение. Опасное сечение - сечение в котором . = 2.039 кН/см2. В опасном сечении записываем условие прочности при растяжении-сжатии: , кН/см2 =2.039 кН/см2 < 16 кН/см2 . Условие прочности выполняется. 3. Результаты расчета показывают, что собственный вес колонны мал по сравнению с приложенной нагрузкой Р. Поэтому при определении перемещения Dl верхнего среза стальной колонны собственный вес не учитываем. По закону Гука для растяжения-сжатия: Определяем D l как сумму удлинений ( укорочений ) отдельных участков. Без учета собственного веса (q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0) Отрицательное значение Dl показывает, что колонна укоротилась.
ПРИМЕР К ЗадаЧЕ 1.2
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стальным стержням при помощи шарниров. Требуется: 1. Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q. 2. Используя метод расчета по допускаемым напряжениям найти допускаемую нагрузку [Q]. 3. Найти предельную грузоподъемность системы Qт и допускаемую нагрузку [Q]т путем расчета по предельному состоянию. Запас прочности к = 1.5. 4. Сравнить величины [Q] и [Q]т .
РЕШЕНИЕ 1. Определяем необходимые геометрические параметры (длины стержней ВМ и СК, a - угол наклона стержня СК). l1=ВМ=40 см l2=СК= = = 56.569 см sin a = DК / СК = 40 / 56.569= 0.707, cos a = СD/CK=0,707 2. Строим силовую схему (рис. 2). Указываем направление опорных реакций RD и HD, внутренних усилий в стержнях N1 и N2. Неизвестные усилия N1 и N2 считаем растягивающими. Рис.2 3. Определяем степень статической неопределимости m = 4 - 3 = 1 Здесь 4 - число неизвестных ( RD, HD, N1, N2) 3 - число уравнений статики. 4. Записываем уравнения статики S x = 0 HD + N2 cosa = 0; S y = 0- N1 - RD + N2 sina + Q= 0 ; S MD= 0 - N1 70 + N2 40 sin a - Q20 = 0. В данной задаче не требуется отыскивать опорные реакции RD и HD, поэтому из трех уравнений статики используем одно: S MD= 0 - N1 70 + N2 40 sin a - Q 20 = 0 (1) Из одного уравнения (1) невозможно определить два неизвестных усилия N1 и N2. Задача один раз статически неопределима. 5. Составляем условие совместности деформаций. Используя предположение о малости деформаций, строим деформированную схему конструкции (рис. 3). Абсолютно жесткий брус BL под действием приложенной нагрузки Q поворачивается на малый угол вокруг опоры (т.D), оставаясь прямолинейным. При этом первый стержень сжимается на величину Dl1 ( т. В переходит в т. В1 ), а второй стержень растягивается на величину Dl2 (т.С переходит в С1 ). Рис. 3
Здесь ВВ1 ^ BD, CC1 ^ CD, D l1 = BB1, D l2 = CC2 Чтобы получить т. С2 из т. С1 опускаем перпендикуляр на первоначальное направление стержня СК. Из подобия треугольников D BB1D и D СС1D следует: или Здесь CC1 = Dl2 / sin a из D CC1C2. Знак минус показывает, что первый стержень укорачивается. Итак получили условие совместности деформаций: или (2) 6. Используя закон Гука, из уравнений (1) и (2) определяем усилие и напряжения. Согласно закону Гука: По условию задачи А2 = 2 А1 Подставляя в (2), получим N1= -1,750 N2 (3)
Решаем совместно систему уравнений (1), (3). Получаем: - (-1.750 N2 ) 70 + N2 40 0.707 - Q 20 =0. Откуда N2 = 0,133 Q ( растяжение ) N1 = - 1,750 N2 = - 0.233 Q ( сжатие ) Определяем напряжения в стержнях: где A1 =A =10 см2 A2 = 2 A = 20 см2 7. Определяем допускаемую нагрузку [Q]. Приравнивая максимальное напряжение по модулю |s1| допускаемому [s], получаем допускаемую нагрузку [Q]: |s1 | = 0.0233 [Q] = 16 кН/см2 Þ [Q] = 16 / 0.0233 = 689.655 кН.
8. Вычисляем предельную грузоподъемность QТ. Считаем s1 = sT, s2 =sT. Тогда 240 кН, (сжатие) кН/см2, 480 кН. Подставляя и в (1), с учетом истинного направления усилия (сжатия), находим предельное значение QТ: Допускаемое значение [Q]т по предельному состоянию кН 9. Сравнивая величины [Q] = 689,655 кН и [Q]T =1012.48 кН, видим, что расчет по предельному состоянию позволяет расширить диапазон допускаемых нагрузок . ПРИМЕР К ЗАДАЧЕ 1.3. Круглый стальной вал сплошного сечения жестко закрепленный одним концом, находится под действием четырех внешних скручивающих моментов M1=3,5 кН×м, М2=5 кН×м, М3=4 кН×м, М4=2,5 кН×м (рис.1). Требуется : 1. Построить эпюру крутящих моментов. 2. Определить диаметр вала из расчета на прочность [t]=6 кН/см2. 3. Построить эпюру углов закручивания G = 8´103 кН/см2 4. Найти наибольший относительный угол закручивания на 1 м длины. *Примечание:На рис.1.3 использовано плоское изображение крутящих моментов: - означает начало стрелки (“на нас”); - конец стрелки (“от нас”). Рис. 1
РЕШЕНИЕ
1. Построение эпюры крутящих моментов. Для определения крутящего момента в сечении пользуемся методом сечений. Разбиваем вал на участки, начиная со свободного конца. Границами участков служат точки приложения внешних крутящих моментов. Для данного вала получаем 4 участка. Для каждого из участков рассматриваем равновесие отсеченной правой части. Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от сечения. Для правой отсеченной части Мz направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси z.
1 участок: 0 £ z1 £ 1,5 м
2 участок: 1,5 £ z2 £ 3,3 м
3 участок: 3,3 £ z3 £ 4,9 м
4 участок: 4,9 £ z4 £ 6,4 м
åMZ = 0 -MZ4 + M1 + M2 - M3 + M4 = 0 MZ4 = M4 - M3 + М2 + М1 = 2,5 - 4 + 5 + 3,5 = 7 кН×м
Эпюры крутящих моментов показаны на рис.2 Опасное сечение - сечение в котором крутящий момент принимает максимальное значение МZmax =7 кН×м - все точки 4 -го участка.
2. Подбор диаметра вала По наибольшему моменту MZmax из условия прочности при кручении подбираем диаметр вала: tmax = [t] Полярный момент сопротивления для круглого сечения ; MZmax = 7 кН×м =700 кН×см. Отсюда = = 8.4 см = 84 мм. После округления до стандартного значения получаем D = 90 мм=0.09 м.
3. Вычисляем углы закручивания j. Обозначаем буквами А, В, С, D, Е границы участков, начиная с заделки (рис.2). Если на участке вала длины l крутящий момент M и жесткость GIр постоянны, то угол поворота торцевых сечений определяется по формуле: j = G = 8 × 103 кН/см2 см4 Жесткость вала при кручении GIr = 8 ×103 × 643,8 = 5,15 106 кН см2 Вычисляем углы закручивания начиная от неподвижного сечения. В заделке jА = 0 jВ = jА + jАВ =0+ (рад) Здесь jAB угол поворота торцевых сечений на участке AB. MAB = MZ4 = 7 кН×м = 700 кН×см, lAB= 1.5м = 150 см (длина участка AB ) Аналогично получаем: jC = jB + jBC =jВ+ 0.0204+0.0109=0.0313 (рад);
jD = jc + jCD =jc+ 0.0313-0.052=0.0261 (рад);
jЕ = jD + jDE =jD+ 0.0261+0.0073=0.034 (рад).
Эпюры углов поворота приведены на рис.2. 4. Вычисляем относительные углы закручивания на каждом участке. (м-1); (м-1);
(м-1); (м-1). Наибольший угол закручивания на 1 метр длины qmax = qAB =0.0136 (м-1 ).
Рис. 2.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1253)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |