Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В



2015-12-15 1102 Обсуждений (0)
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В 0.00 из 5.00 0 оценок




ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЕ

В предыдущих параграфах мы выяснили, что переменное электромагнитное поле всегда находится в движении в виде электромагнитной волны (электромагнитного излучения). Электромагнитная волна как материальный объект обладает энергией и переносит энергию в среде своего распространения.

 

3.7.1. Поток плотности электромагнитной энергии, вектор

Пойнтинга

1.Плотность энергии. Энергия электромагнитного поля локализована в пространстве. Плотность энергии определяет энергию в единице объема:

w = ,

которая складывается из плотности энергии электрического и магнитного полей: w = wэ + wм = + , (86)

 

где E(x, y, z) и H(x, y, z) – мгновенные значения соответственно напряженности электрического и магнитного полей в фиксированный момент времени t. Подчеркнем, формула (86) описывает плотность энергии электромагнитного поля в изотропной среде в отсутствии ферромагнетиков и сегнетоэлектриков.

Попутно заметим, в вакууме wэ = wм. Действительно, соотношение (46) = (§ 3.5.2,) для амплитудных значений E0 и H0в идеальном диэлектрике верно и для других мгновенных значений E и H. Например, мгновенные значения E(x, y, z) и H(x, y, z) в вакууме связаны соотношением = (вакууме e = 1 и m = 1). Из этого имеем:

= или =1.

Для сравнения вспомним, в проводящей среде » 3×107 (оценка приведена в конце § 3.6.2), что обусловлено незначительным волновым сопротивлением Z0 проводящей среды.Вследствие поглощения энергии в проводящей среде имеется также сдвиг между фазами колебаний E и H (угол сдвига определяется выражением j = arctg ).

Энергия электромагнитного поля в выделенном объеме V определяется интегралом по этому объему:

W = . (87)

Электромагнитная волна находится в движении, описываемая волновыми уравнениями (40) и (41). Решением уравнений является монохроматическая волна с частотой w, распространяющаяся в вакууме со скоростью

c = » 3×108 .

Разумеется, реальная электромагнитная волна не является монохроматической, т.к. она ограничена как по протяженности пространстве, так и по длительности во времени. Реальную волну можно рассматривать как совокупность монохроматических волн, частоты которых находятся в некотором диапазоне частот . Совокупность волн, образующих реальную электромагнитную волну, называется группой волн или волновым пакетом. В вакууме дисперсия (зависимость фазовой скорости волны от частоты) отсутствует, и все монохроматические составляющие реальной волны распространяются с одной и той же скоростью c » 3×108 м/с. Профиль волнового пакета при распространении волны в вакууме не изменяется. Мгновенное значение напряженности электрического поля E и напряженности магнитного поля H волнового пакета в данной точке пространства определяется векторной суммой векторов Ei и Hi всех монохроматических составляющих волнового пакета.

2.Плотность потока энергии; вектор Пойнтинга. Выражение для плотности энергии волнового пакета в вакууме можно, с учетом соотношения = , представить в виде:

w = + = ( ) + ( ) =

= ( ) + ( ) = .

Итак, имеем: w = . (88)

Произведение плотности энергии электромагнитного поля w на скорость распространения этого поля c есть модуль плотности потока электромагнитной энергии:

П = wс = EH.

Такое же выражение для модуля плотности потока энергии получается и в диэлектрике: П = wv = EH, (89)

где v = - скорость электромагнитной волны в диэлектрике.

Из самого понятия плотности потока энергии следует, что это векторная величина: П = wv. В электромагнитном поле вектор Побразует с векторами E и H правовинтовую систему, и равен векторному произведению E и H:

П = [E, H]. (90)

Вектор П называется вектором Пойнтинга и направлен в сторону распространения электромагнитной энергии.

Определим смысл модуля вектора Пойтинга. Допустим, за время t волна прошла перпендикулярно поверхности S расстояние l. При этом передний фронт волны «заметает» объем V = Sl. Имеем:

П = wv = = .

Итак, модуль вектора Пойнтинга равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Единицу модуля вектора Пойнтинга можно получить из понятия плотности потока энергии П = wv: = . Из определения вектора Пойнтинга П = [E, H] получим, разумеется, тот же результат: = .

Поток электромагнитной энергии Ф, проходящий через произвольную поверхность S за единицу времени, определится интегралом вектора П по этой поверхности:

Ф = или Ф = . (91)

Поток энергии Ф измеряется в ваттах: = Вт.

Рассмотрим замкнутую поверхность S, охватывающий объем V. Допустим, в этом объеме содержатся электромагнитное поле. Энергия электромагнитного поля W в объеме V с течением времени будет изменяться. Из самых общих соображений можно выделить две причины этого изменения:

1) если в выделенном объеме содержатся объекты, проводящие электрический токи, то электромагнитное поле будет возбуждать ток в проводящих объектах, что приводит к выделению джоулева тепла Q. Вследствие этой причины энергия электромагнитного поля поглощается в самом объеме V (тем самым убывает) и переходит во внутреннюю энергию проводящих объектов;

2) через замкнутую поверхность S, охватывающий объем V, может существовать поток электромагнитной энергии Ф = . Эта причина приводит или к убыли электромагнитного поля (при потоке из объема V), или к возрастанию энергии электромагнитного поля в выделенном объеме V (при потоке в объем V).

Таким образом, энергетический баланс в объеме V можно выразить уравнением: = + Q,(92)

где левая часть ( ) – это скорость убыли электромагнитной энергии в объеме (скорость изменения энергии, взятая с обратным знаком). Уравнение (92) выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле.

Закон сохранения (92) носит название теоремы Умова-Пойнтинга. Покажем, что (92) следует из уравнений Максвелла, тем самым уясним, что уравнения Максвелла опосредованно согласуются с законом сохранения энергии.

 

3.7.2. Теорема Умова-Пойнтинга

Энергия электромагнитного поля в объеме V складывается из энергии электрического и магнитного полей:

W = .

Изменение энергии электромагнитного поля выразится через изменение напряженности электрического поля и изменение магнитного поля . Запишем соответствующие динамические уравнения Максвелла (см. сводную таблицу в § 3.4.6) в удобном для нашей задачи виде:

= [Ñ, H]- j; = - [Ñ, E].

Так как энергия электромагнитного поля определяется квадратом напряженностей E2 и H2, умножим первое уравнение скалярно на E, второе – на H. Сложим полученные результаты, получим:

+ = E[Ñ, H] - H[Ñ, E] - j E, (93)

где: = и = (т.к. E2 = E2 и H2 = H2) и

E[Ñ, H] - H[Ñ, E] = -Ñ[E, H] (или E rot H - H rot E= - div [E, H]).

СоотношениеE[Ñ, H] - H[Ñ, E] = -Ñ[E, H] получено с учетом правила смешанного произведения и операции ротора векторных функций [Ñ, H] и [Ñ, E] (проверьте).

 

Напомним правило смешанного (скалярно-векторного) произведение трех векторов а[b, c]. Смешанное произведение допускает циклическую (стековую) перестановку векторов:а[b, c] =c[а, b] =b [c,а].В результате смешанного произведения получаем скалярную величину. Так какi[j,j] = 0, i[k, k] = 0, i[i, k]=0, i[k,i] = 0 и т.д., то получим:а[b, c] = axbycz -axbzcy + aybzcx - aybxcz + azbxcy - azbycx .

Геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, bиc. Действительно, скалярное произведение вектора а на вектор[b, c] выражается соотношением а[b,c] = a÷[b,c]çcosa , где модуль векторного произведение ÷[b,c]ç численно равен площади параллелограмма со сторонами b и c, а высота параллелепипеда определяется отношением h = a cosa (рис. 3-39).

 

Рис. 3-39. Геометрический смысл смешанного произведения а[b, c].

 

Итак, уравнение (93) принимает вид:

= -Ñ[E, H] -j E.

Проинтегрируем полученное выражение по всему выделенному объему V, получим:

= + . (94)

Выражение в левой части (94) – это скорость изменения энергии электромагнитной волны, взятая с обратным знаком, т.е. ( ).

Преобразуем первый объемный интеграл в правой части (94) в поверхностный интеграл по теореме Гаусса-Остроградского:

= ,

где: S – поверхность, охватывающая объем V; П = [E, H] – плотность потока электромагнитной энергии через единичную поверхность – вектор Пойнтинга. Интеграл º – есть поток электромагнитной энергии через поверхность S.

Интеграл Q = - теплота, выделенная в объеме V в проводящих объектах, содержащихся в этом объеме. Теплота Q всегда положительная по знаку. Итак, приходим к уравнению закона сохранения энергии в электромагнитном поле (92):

= + Q или = + Q (95)

 

Приведем две оценки потока энергии через замкнутую поверхность.

1. Пусть > 0, т.е. энергия электромагнитной волны в выделенном объеме возрастает. В этом случае = - ( + Q) < 0. Поток вектора Пойнтинга отрицательный, т.е. в этом случае энергия втекает в объем V. Энергия втекающего электромагнитного поля частично компенсирует потери на нагревание проводников в объеме V, а остальная часть энергии идет на увеличение энергии электромагнитного поля в этом объеме.

2. < 0 - энергия электромагнитной волны в выделенном объеме V уменьшается. Так как исходная энергия поля всегда больше поглощаемой энергии проводниками (тепло выделяется за счет энергии поля), то = - ( + Q) > 0. таким образом, в этом случае из объема V происходит излучение электромагнитной волны во внешнюю среду.

 

3.7.3. Поток энергии электромагнитного поля вдоль подводящих

проводов, поглощение энергии в проводах (постоянный ток)

Вначале в первых двух пунктах параграфа рассмотрим подробнее физику осуществления постоянного тока в проводнике.

1. Электрическое поле в объеме однородного проводника при существовании электрического тока в проводнике. В объеме уединенного заряженного проводника электрическое поле отсутствует. Данный факт, как было отмечено ранее, является следствием закона Кулона – закона обратного квадрата.

Ясно, что постоянный электрический ток в проводнике может быть обусловлен существованием электрического поля Eвнутри проводника. Плотность тока j в линейном проводнике определяется законом Омаj = gE, где g – проводимость проводника.

На рис. 3-40 часть проводника, по которому течет постоянный ток плотностьюj. В объеме проводника существует электрическое поле напряженностью E= Et, провод. (нормальная составляющая в объеме проводника отсутствует En, провод. = 0). ПолеEt порождает постоянный ток j.

Источником поля Et, провод. внутри проводника не могут быть заряды на клеммах источника тока. Например, в случае длинных проводов на больших расстояниях от клемм источника тока кулоновская сила становится ничтожно малой, однако ток существует. Таким образом, заряды на клеммах не могут быть непосредственными источниками поляEt, провод. внутри проводника.

Так как единственным источником поля Et внутри проводника, по которому течет постоянный ток,могут быть заряды, то возникает вопрос: где эти заряды находятся? Эксперимент показывает, что после включения источника тока на поверхности проводника всей цепи возникают поверхностные неподвижные заряды, которые и порождают поле Et в объеме проводника. В качестве экспериментальной установки можно вспомнить, например, известную установку (рис. 3-41-а): поместим в ванну слой диэлектрического порошка и на порошок уложим участки проводов а и б, расположенные достаточно близко друг к другу. При включении цепи (ключ К) крупинки диэлектрического порошка укладываются вдоль силовых линий электрического поляE, созданного поверхностными зарядами. Силовые линии E электрического поля в пространстве между участками а и б показаны на рис. 3-41-б. Вблизи поверхности проводника (вне объема проводника) напряженность поля E поверхностных зарядов направлена под углом к проводнику.

Из граничного условия (57) следует, что тангенциальная составляющая поля вне проводника равна тангенциальной составляющей в объеме проводника: Et, диэл. = Et, провод.. Поле внутри проводника имеет только тангенциальную (касательную) составляющую вдоль проводника E= Et в направлении электрического тока, а нормальная к поверхности проводника компонента поля внутри проводника отсутствует En, провод. = 0.

 

 

Итак, роль зарядов на клеммах источника тока состоит в создании неподвижных зарядов на поверхности проводника (поверхностных зарядов) по всей длине цепи. Именно эти поверхностные заряды и создают полеEt в объеме проводника, которое, в свою очередь, порождает электрический ток плотностью j в замкнутой цепи.

 

2. Электрическое поле в объеме неоднородного проводника при существовании электрического тока в проводнике. В однородных проводниках при включении источника постоянного тока в проводах возникают только поверхностные заряды, объемные заряды в проводнике отсутствуют. На практике, как правило, имеют дело с неоднородными проводниками, в которых проводимость g изменяется от точки к точке проводника, т.е. проводимость является функцией координат - g(x, y, z). Неоднородности могут быть обусловлены разными факторами, например, упругими напряжениями в материале проводника при его деформации, микроскопическими посторонними включениями в материале проводника и т.п. В неоднородном проводнике кроме поверхностных зарядов на неоднородностях в объеме проводника образуются объемные заряды. В общем случае этими объемными зарядами могут быть как связанные заряды с плотностью r /, так и свободные заряды с плотностью rсвоб.. Эти объемные заряды с объемной плотностью r = r / + rсвоб совместно с поверхностными зарядами создают поле E в проводнике.

Покажем, что объемные заряды обеспечивают реализацию постоянного тока в неоднородном проводнике. Представим интегральный закон сохранения заряда (20) в дифференциальной форме.

Закон сохранения заряда (уравнение непрерывности) в интегральной форме (20) можно записать в виде:

= .

По теореме Гаусса-Остроградского = , следовательно, имеем:

= 0.

Ясно, что подынтегральное выражение также равно нулю во всех точках объема V:

+ div j= 0 или + Ñj = 0. (96)

Уравнение (96) выражает закон сохранения заряда (уравнение непрерывности) в дифференциальной форме.

В случае постоянного тока = 0, т.к. в этом случае заряд в любом выделенном объеме проводника не изменяется. Поэтому при постоянном токе div j= 0 или Ñj= 0. (97)

Уравнение (97) означает, что линии вектора плотности тока jв цепи постоянного тока замкнуты, т.е. постоянный ток возможен только при замкнутой цепи.

Плотность объемных зарядов r выразим по теореме Гаусса в дифференциальной форме: ÑE = . По закону Ома E= , следовательно, можно записать

Ñ( ) = , (98)

где вследствие неоднородности проводника проводимость проводника является функцией координат g(x, y, z).

По правилу дифференцирования произведения двух функций – в данном случае скалярной функции и векторной функции j - имеем:

Ñ( ) = Ñj + jÑ( ) или div( ) = divj + jgrad( ).

С учетом (97) уравнение (98) примет вид:

jgrad( ) = (99)

Возьмем прямолинейный участок цепи и направим ось 0X вдоль этого участка. Для простоты допустим, что проводимость изменяется только в направлении оси 0X, т.е. g = g(x). В этом случае градиент примет вид:

grad( ) = .

 

Уравнение (99) запишется как j×i = (i – орт в направлении оси 0X). Окончательно имеем:

j = . (100)

Из уравнения (100) получаем, что если, например, проводимость g(x) в положительном направлении оси 0X уменьшается (удельное сопротивление r = растет), то объемный заряд r имеет положительный знак. Это приводит к увеличению напряженности поля E за счет положительных объемных зарядов, что и обеспечивает поддержание постоянной плотности тока j. Аналогично, при увеличении проводимости возникают отрицательные объемные заряды.

3. Поток энергии электромагнитного поля вдоль подводящих проводов, поглощение энергии в проводах.

Рассмотрим участок проводника с электрическим током (рис. 3-42-а). Силовые линии магнитного поля тока образуют концентрические окружности (на рисунке показана одна силовая линия). Вектор напряженности H магнитного поля у поверхности проводника направлен по касательной к поверхности проводника. Напряженность электрического поля E у поверхности проводника имеет нормальную En и тангенциальнуюEt составляющие: E= En + Et. Составляющая Et направлена в ту же сторону, как и ток. Вектор Пойнтинга можно записать в виде:

П1 = [E, H] = [En, H] + [Et, H].

Введем обозначения: П1 = [En, H] и П2 = [Et, H], П = П1 + П2.

Исходя из правила определения направления результата векторного произведения следует, что вектор Пойнтинга П1 = [En, H] направлен вдоль проводника и определяет величину электромагнитной энергии, переносимой от источника тока вдоль проводника (рис. 3-42-б). Подчеркнем, поток энергии, определяемый векторомП1, переносится не в объеме проводника, а вдоль проводника в диэлектрической среде, окружающий проводник. Проводник играет роль только направляющей оси потока электромагнитной энергии.

Вектор Пойнтинга П2 = [Et, H] направлен вглубь объема проводника. Вектор П2 определяет энергию, входящую в проводник. При постоянном токе энергия, определяемая потоком П2, полностью переходит во внутреннюю энергию материала проводника, приводящая к его нагреванию.

Итак, электромагнитная энергия переносится от источника тока к нагрузке вдоль проводов и определяется нормальной составляющей En у поверхности проводника. Тангенциальная составляющая Et ответственна за потери энергии электромагнитного поля в проводнике.

Как известно, мощность тепла, выделяемого при нагревании проводника, может быть рассчитана по закону Джоуля-Ленца: P = I2R. Покажем, что закон Джоуля-Ленца следует из выражения для вектора Пойнтинга П2 = [Et, H], определяющий потери электромагнитной энергии в проводящих объектах. Тем самым опосредованно покажем, что и закон Джоуля-Ленца является следствием уравнениями Максвелла.

Выделим цилиндрический участок проводника диаметром 2b и длиной l (рис. 3-42-в). Поток мощности (поток энергии в единицу времени), втекающий в этот участок проводника через его внешнюю поверхность площадью S = 2pbl, определится интегралом

P = = Et H 2pbl,

где Et = , H = - напряженность электрического и магнитного полей соответственно у поверхности проводника. Имеем: P = .

По определению модуль плотности тока j = . Подставим эту формулу в последнее уравнение, получим:

P = = I2R.

Таким образом, поток электромагнитной энергии, вошедший в проводник, равен теплоте, выделенной в проводнике по закону Джоуля-Ленца.

 

4. Двухпроводная линия передачи электромагнитной энергии (постоянный ток)

На рис. 3-43-а приведена простая схема постоянного тока с источником ЭДС x, соединительных проводов и нагрузки R как потребителя энергии, поступающей от ЭДС. У поверхности соединительных проводов напряженность поля поверхностных зарядов направлена под углом к проводам. Если сопротивление проводов ничтожно мала (близка к нулю), то у поверхности проводов есть только нормальная составляющая поля En, а тангенциальная практически равна нулю Et = 0. Наоборот, у нагрузки R основной компонентой являетсяEt, а нормальной можно пренебречь En = 0.

Вектор напряженности E электрического поля в источнике постоянного тока направлен от положительной клеммы к отрицательной. Ток I во внешней цепи течет по часовой стрелке. Допустим, сопротивление подводящих проводов близко к нулю. Силовые линии электрического поля между проводами в сечении а-б (рис. 3-43-б) в этом случае перпендикулярны поверхности проводов (вектор Et). Направление вектора напряженности магнитного поля H определяется правилом правого винта.

Рассматривая направление векторов Etи H вблизи поверхности подводящих проводов, убеждаемся, что вектор Пойнтинга П1 направлен от источника постоянного тока к нагрузке R. Направление вектора П1 не зависит от направления тока I: и по нижней и по верхнейпо рисунку ветви поток энергии направлен к потребителю энергии R. Впрочем, независимость направления вектораП1 от направления тока должно быть понятно и из самых общих представлений о законах природы – эти законы не должны зависеть от субъективного (договорного) выбора положительного направления тока.

Вблизи нагрузки R вектор Пойнтинга П2 направлен в объем нагрузки. Вошедшая в нагрузку энергия электромагнитного поля может превращаться в другие виды энергии: например, в плитке электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию нагрузки с выделением тепла; в электрическом двигателе – в механическую энергию вращения ротора двигателя и т.д.

В источнике питания поток электромагнитной энергии ПИЗЛ. направлен от источника во внешнюю среду, излучается во внешнюю среду.

Итак:

1) энергия от источника тока к нагрузке распространяется вдоль подводящих проводов в диэлектрической среде, окружающий провод. Подводящие провода служат направляющей осью распространения потока электромагнитной энергии от источника (генератора) к нагрузке;

2) у нагрузки энергия входит в нагрузку. Реальные подводящие провода обладают конечным сопротивлением, поэтому в линии передачи часть энергии входит в объем подводящих проводов и выделяется в виде тепла. В линии передачи происходят потери, определяемые тангенциальной составляющей Et электрического поля зарядов на поверхности подводящих проводов;

3) из источника питания поток электромагнитной энергии ПИЗЛ. выходит («излучается») во внешнюю среду.

Заметим, изложенная выше картина перемещения энергии от генератора к нагрузке во всех линиях передачи в принципе похожи. Различия в линиях, разумеется, есть. Например, при передаче по линии переменных электромагнитных полей усложняется картина силовых линий полей; в зависимости от частоты волны явно или неявно изменяется элементная база линии.

 

3.7.4. Идеальная двухпроводная линия передачи электромагнитной

энергии(переменные ток)

1. Волновое уравнение напряжения и тока в цепи переменного (квазистационарного) тока. Выделим в цепи переменного тока элемент идеальной линии передачи длиной dx (рис. 3-44). В идеальной линии потери отсутствуют (R = 0). Переменный ток создает переменный магнитный поток, и линия характеризуется некоторой индуктивностью на единице длины L0. Провода образуют конденсатор с емкостью C0 на единице длины линии.

На длине dx линии индуктивность L = L0dx, емкость C = C0dx. Напряжение на длине dx изменяется на величину , ток на . По закону явления самоиндукции имеем: = - (L0 dx) или

= - L0 . (101)

Входное напряжение элемента цепи равно U. Часть тока идет на зарядку конденсатора до напряжения U, и конденсатор приобретает заряд q = C0dxU. Имеем: dI = = . Имеем: - = или

- = . (102)

Дифференцируя уравнение (101) по x, а уравнение (102) – по t, получим волновое уравнение напряжения:

= L0C0 . (103)

Дифференцируя уравнение (101) по t, а уравнение (102) – по x, получим волновое уравнение тока:

= L0C0 . (104)

Итак, колебания носителей заряда в линии передачи порождают волны напряжения и тока. Скорость распространения волны напряжения и тока в линии передачи определяется погонной индуктивностью (магнитной «инерцией») и емкостью (способностью накапливать энергию) линии:

v = . (105)

 

2. Волновое сопротивление линии передачи. Отражение волны на нагрузке. Решение уравнений типа (103) и (104) ранее было получено, и имеют для волны, распространяющейся в положительном направлении x, вид

U = U0 cos[ (vt – x)] и I = I0 cos[ (vt – x)]. (106)

Если волна распространяется в одном направлении (например, положительном относительно x), то волна напряжения и волна тока согласно (106) находятся в фазе. В этом случае энергия от генератора все время поступает в линию передачи. Амплитуды напряжения U0 и тока I0 по всей линии передачи постоянны (потерь нет!). Это аналогично тому, что наблюдается в цепи постоянного тока без потерь. Вектор напряженности поверхностных зарядов перпендикулярны поверхности проводов линии передачи, тангенциальная составляющая отсутствует Et = 0.

Подставим решения волновых уравнений (106) в (101), получим:

U = vL0 I.

Отношение Z0 = = vL0 = L0 = (Ом) (107)

измеряется в единицах сопротивления.

Величина Z0 = называется волновым сопротивлением линии передачи. Обратите внимание, Z0 не зависит от длины линии, т.к. величины L0 и C0 относятся к единице длины линии. Волновое сопротивление Z0 является

2015-12-15 1102 Обсуждений (0)
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1102)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.013 сек.)